366 16 “Ellipsoid-of-revolution to cylinder”: oblique aspect
y
A
2
A
1
α
A
1 = A 1
x
e 1
e 2
A
2
Fig. 16.4. Oblique reference frame {e 1 , e 2 , e 3 , O}, intersection of E
2
A 1 ,A 2 and L
2
O : the ellipse E
1
A
1
,A
2
as given
by (16.25), circle-reduced meta-longitude α.
Corollary 16.2 (Arc length of E
1
A
1 ,A
2
).
The arc length s(α) of E
1
A
1 ,A
2
can be represented by (16.30) with respect to the elliptic integral of
the second kind E(·; E
) and the first relative eccentricity E
:= (1 − A
2
2 /A
2
1 )
1/2 . A series expansion
of s(α) up to order E
12 is provided by (16.31).
s(α) = A
1
E (π/2; E
) − E (α
∗ ; E
)
,
(16.30)
s(α) = A
1 α
1 −
1
2 · 2
E
2 −
1 · 1
2 · 4
3 · 1
4 · 2
E
4 −
1 · 1 · 3
2 · 4 · 6
5 · 3 · 1
6 · 4 · 2
E
6 −
−
1 · 1 · 3 · 5
2 · 4 · 6 · 8
7 · 5 · 3 · 1
8 · 6 · 4 · 2
E
8 −
1 · 1 · 3 · 5 · 7
2 · 4 · 6 · 8 · 10
9 · 7 · 5 · 3 · 1
10 · 8 · 6 · 4 · 2
E
10 − O( E
12 )
−
−A
1 cos α sin α
1
2
1
2
E
2 +
1 · 1
2 · 4
3 · 1
4 · 2
E
4 +
1 · 1 · 3
2 · 4 · 6
5 · 3 · 1
6 · 4 · 2
E
6 +
+
1 · 1 · 3 · 5
2 · 4 · 6 · 8
7 · 5 · 3 · 1
8 · 6 · 4 · 2
E
8 +
1 · 1 · 3 · 5 · 7
2 · 4 · 6 · 8 · 10
9 · 7 · 5 · 3 · 1
10 · 8 · 6 · 4 · 2
E
10 + O(E
12 )
−
−A
1 cos
3 α sin α
1 · 1
2 · 4
1
4
E
4 +
1 · 1 · 3
2 · 4 · 6
5 · 1
6 · 4
E
6 +
1 · 1 · 3 · 5
2 · 4 · 6 · 8
7 · 5 · 1
8 · 6 · 4
E
8 +
+
1 · 1 · 3 · 5 · 7
2 · 4 · 6 · 8 · 10
9 · 7 · 5 · 1
10 · 8 · 6 · 4
E
10 + O(E
12 )
−
−A
1 cos
5 α sin α
1 · 1 · 3
2 · 4 · 6
1
6
E
6 +
1 · 1 · 3 · 5
2 · 4 · 6 · 8
7 · 1
8 · 6
E
8 +
1 · 1 · 3 · 5 · 7
2 · 4 · 6 · 8 · 10
9 · 7 · 1
10 · 8 · 6
E
10 + O(E
12 )
−
−A
1 cos
7 α sin α
1 · 1 · 3 · 5
2 · 4 · 6 · 8
1
8
E
8 +
1 · 1 · 3 · 5 · 7
2 · 4 · 6 · 8 · 10
9 · 1
10 · 8
E
10 + O(E
12 )
.
(16.31)
An alternative expansion in terms of powers of ∆α is
s(α 0 + ∆α) = s(α 0 ) + s 1 (α 0 )∆α + s 2 (α 0 )∆α
2 + O(∆α
3 ) ,
(16.32)
s 1 (α) :=
ds
dα
= A
1
1 − E 2 cos 2 α , s 2 (α) :=
1
2!
d
2 s
dα 2 =
1
2
A
1 E
2 sin α cos α
1 − E 2 cos 2 α
.
(16.33)
End of Corollary.