14-2 Special mapping equations 305
Proof.
“I ntegration- b
y- parts”:
x
0
cos x
dx
(1 − E 2 sin
2 x ) 2 =
1
E
x
0
d(E sin x
)
(1 − E 2 sin
2 x ) 2 =
1
E
E sin x
0
dy
(1 − y 2 ) 2 ,
1
(1 − y 2 ) 2 =
1
(1 + y) 2 (1 − y) 2 =
A
(1 − y) 2 +
B
1 − y
+
C
(1 + y) 2 +
D
1 + y
,
A(1 + y)
2 + B(1 + y)
2 (1 − y) + C(1 − y)
2 + D(1 − y)
2 (1 + y) = 1
⇒
A(1 + 2y + y
2 ) + B(1 + y − y
2
− y
3 ) + C(1 − 2y + y
2 ) + D(1 − y − y
2 + y
3 ) = 1 ;
(14.23)
(i)
y
3 : −B + D = 0 ,
(ii)
y
2 : A − B + C − D = 0 ,
(iii)
y :2 A + B − 2C − D = 0 ,
(iv)
1 : A + B + C + D = 1 ;
(14.24)
−(ii) + (iv) :2( B + D) = 1 , (i) : −B + D = 0 ⇒ B = D =
1
4
,
B = D =
1
4
, (ii) : A + C =
1
2
, (iii) :2( A − C) = 0 ⇒ A = C =
1
4
;
(14.25 )
1
E
E sin x
0
dy
(1 − y 2 ) 2 =
1
4E
E sin x
0
1
(1 − y) 2 +
1
(1 + y) 2 +
1
1 − y
+
1
1 + y
dy . (14.26 )
S tandard I
ntegrals:
dy
ay + b
=
1
a
ln |ay + b| ,
dy
(+y + 1) 2 = −
1
+y + 1
,
dy
(−y + 1) 2 =
1
−y + 1
,
(14.27 )
1
4E
ln
1 + y
1 − y
+
1
1 − y
−
1
1 + y
E sin x
0
=
1
4E
ln
1 + E sin x
1 − E sin x
+
2E sin x
1 − E 2 sin
2 x
. (14.28 )
End of Proof.