10-3 Optimal cylinder projections 283
I A (equiareal) = min
⇔
dI A /dΦ 0 = 0 ,
(10.33)
I A (equiareal) = I A (Φ 0 ) =
=
1
2 sin Φ
cos
2 Φ 0 ln tan
π
4
+
Φ
2
− 2Φ cos Φ 0 + 2 sin Φ−
−
1
cos Φ 0
(Φ +
1
2
sin 2Φ) +
1
3
sin Φ
cos 2 Φ 0
(2 + cos
2 Φ)
,
(10.34)
dI A /dΦ 0 = 0
⇒
−2 sin
Φ 0 cos
Φ 0 ln tan
π
4
+
Φ
2
+ 2Φ sin
Φ 0 −
−
sin
Φ 0
cos 2
Φ 0
Φ +
1
2
sin 2Φ
+
2
3
sin
Φ 0
cos 3
Φ 0
sin Φ(2 + cos
2 Φ) = 0 ,
sin
Φ 0 = 0 , cos
Φ 0 = 0
⇒
−3 cos
4
Φ 0 ln tan
π
4
+
Φ
2
+ 3Φ cos
3
Φ 0 − 3 cos
Φ 0
Φ
2
+
1
4
sin 2Φ
+ (2 + cos
2 Φ) sin Φ = 0 .
(10.35)
T he result is an algebraic equation of fourth order in terms of cos
4
Φ 0 = x, namely
x
4 + ax
3 + bx + c = 0.
cos
4
Φ 0 −
Φ cos
3
Φ 0
ln tan
π
4 +
Φ
2
+
(2Φ + sin 2Φ) cos
Φ 0
4 ln tan
π
4 +
Φ
2
−
(2 + cos
2 Φ) sin Φ
3 ln tan
π
4 +
Φ
2
= 0 ,
(10.36)
a = −
Φ
ln tan
π
4 +
Φ
2
, b = +
(2Φ + sin 2Φ)
4 ln tan
π
4 +
Φ
2
,
c = −
(2 + cos
2 Φ) sin Φ
3 ln tan
π
4 +
Φ
2
,
(10.37)
Φ = 85
◦ ,
Φ 0
= 49.31
◦ ,
I A = 0.5248 .
(10.38)
End of Proof.