8-2 Special mapping equations 239
Continuation of Box.
Standard integrals:
Z
dy
ay + b
=
1
a
ln |ay + b| ,
Z
dy
(1 + y) 2 = −
1
1 + y
,
Z
dy
(1 − y) 2 = +
1
1 − y
,
Z
sin ∆
(1 − E 2 cos 2 ∆) 2 d∆ = −
1
4E
»
ln
1 + y
1 − y
+
1
1 − y
−
1
1 + y
–
=
= −
1
4E
»
ln
1 + E cos ∆
1 − E cos ∆
+
1
1 − E cos ∆
−
1
1 + E cos ∆
–
.
(8.69)
Integration constant:
1
2
f
2 = A
2
1
1 − E
2
4E
»
− ln
1 + E cos ∆
1 − E cos ∆
−
1
1 − E cos ∆
+
1
1 + E cos ∆
–
+ c ,
f (∆ = 0) = 0 ⇔ f
2 (∆ = 0) = 0 ⇔ c = A
2
1
1 − E
2
4E
„
ln
1 + E
1 − E
+
1
1 − E
−
1
1 + E
«
.
(8.70)
Parameterized mapping equations:
f (∆) → f (Φ) ,
f (∆) = A 1
p
1 − E 2
r
1
1 − E 2 +
1
2E
ln
1 + E
1 − E
−
cos ∆
1 − E 2 cos 2 ∆
−
1
2E
ln
1 + E cos ∆
1 − E cos ∆
,
f (Φ) = A 1
p
1 − E 2
r
1
1 − E 2 +
1
2E
ln
1 + E
1 − E
−
sin Φ
1 − E 2 sin
2 Φ
−
1
2E
ln
1 + E sin Φ
1 − E sin Φ
,
(8.71)
α = Λ , r = f (∆) or r = f (Φ) , x = f (Φ) cos Λ , y = f (Φ) sin Λ .
(8.72)
Left principal stretches and left eigenvectors:
Λ 1 =
f (Φ)
p
1 − E 2 sin
2 Φ
A 1 cos Φ
, Λ 2 =
A 1 cos Φ
f (Φ)
p
1 − E 2 sin
2 Φ
,
(8.73)
C 1 = E Λ =
D Λ X
D Λ X
(“Easting”) , C 2 = E Φ =
D Φ X
D Φ X
(“Northing”) ,
(i) C 1 Λ 1 = E Λ
f (Φ)
p
1 − E 2 sin
2 Φ
A 1 cos Φ
, (ii) C 2 Λ 2 = E Φ
A 1 cos Φ
f (Φ)
p
1 − E 2 sin
2 Φ
.
(8.74)
Left maximal angular distortion:
Ω l = 2 arcsin
˛
˛
˛
˛
Λ 1 − Λ 2
Λ 1 + Λ 2
˛
˛
˛
˛ = 2 arcsin
˛
˛
˛
˛
Λ
2
1 − 1
Λ
2
1 + 1
˛
˛
˛
˛ =
= 2 arcsin
˛
˛
˛
˛
f
2 (Φ)(1 − E
2 sin
2 Φ) − A
2
1 cos
2 Φ
f 2 (Φ)(1 − E 2 sin
2 Φ) + A
2
1 cos 2 Φ
˛
˛
˛
˛ .
(8.75)