196 5 “Sphere to tangential plane”: polar (normal) aspect
Continuation of Box.
Left maximal angular distortion:
P
l = Ψ l − Ψ r = 0 ,
Ω l = 0 .
(5.108)
Parameterized inverse mapping:
cos Λ =
x
p
x 2 + y 2
,
sin Λ =
y
p
x 2 + y 2
,
(5.109)
tan
∆
2
= tan
„
π
4
−
Φ
2
«
=
1
R
p
x 2 + y 2 ,
2 sin
∆
2
cos
∆
2
=
2 tan
∆
2
1 + tan
2 ∆
2
= sin ∆ = cos Φ ,
cos Φ =
2 tan
∆
2
1 + tan
2 ∆
2
=
2
R
p
x 2 + y 2
1 +
x 2 +y 2
R 2
= 2R
p
x 2 + y 2
R 2 + x 2 + y 2 ,
cos
2 ∆
2
− sin
2 ∆
2
=
1
1 + tan
2 ∆
2
−
tan
2 ∆
2
1 + tan
2 ∆
2
=
1 − tan
2 ∆
2
1 + tan
2 ∆
2
= cos ∆ = sin Φ ,
sin Φ =
1 − tan
2 ∆
2
1 + tan
2 ∆
2
=
1 −
x
2 +y
2
R 2
1 +
x 2 +y 2
R 2
=
R
2 − (x
2 + y
2 )
R 2 + (x 2 + y 2 )
,
(5.110)
cos Φ = 2R
p
x 2 + y 2
R 2 + x 2 + y 2 ,
sin Φ =
R
2 − (x
2 + y
2 )
R 2 + (x 2 + y 2 )
.
(5.111)
S
2
R ⊂ E
3 :
X (Λ, Φ, R) = [E 1 , E 2 , E 3 ]
2
4
X
Y
Z
3
5 ,
(5.112)
X = R cos Φ cos Λ = 2R
x
R 2 + (x 2 + y 2 )
,
Y = R cos Φ sin Λ = 2R
y
R 2 + (x 2 + y 2 )
,
Z = R sin Φ = R
R
2 − (x
2 + y
2 )
R 2 + (x 2 + y 2 )
.
(5.113)