3-3 The oblique frame of reference of the sphere 131
Box 3.6 (The forward problem of transforming spherical frames of reference. Input variables: λ, φ, λ 0 , φ 0 .
Output variables: α, β).
(i) The first and second identities:
tan α =
cos φ sin(λ − λ 0 )
cos φ sin φ 0 cos(λ − λ 0 ) − sin φ cos φ 0
, tan α =
sin(λ − λ 0 )
sin φ 0 cos(λ − λ 0 ) − tan φ cos φ 0
. (3.51)
Alternatives:
sin α =
1
cos β
cos φ sin(λ − λ 0 ) ,
cos α =
1
cos β
`
cos φ sin φ 0 cos(λ − λ 0 ) − sin φ cos φ 0
´
.
(3.52)
(ii) The third identity:
sin β = sin ψ = cos φ cos φ 0 cos(λ − λ 0 ) + sin φ sin φ 0 .
(3.53)
Box 3.7 (Representation of a placement vector x ∈ S
2
r in both the equatorial frame of reference
{e 1 , e 2 , e 3 O} and the meta-equatorial (oblique) frame of reference {e 1 0 , e 2 0 , e 3 0 O}).
e 1 0 = +e 1 sin φ 0 cos λ 0 + e 2 sin φ 0 sin λ 0 − e 3 cos φ 0 ,
e 2 0 = −e 1 sin λ 0 + e 2 cos λ 0 ,
e 3 0 = +e 1 cos φ 0 cos λ 0 + e 2 cos φ 0 sin λ 0 + e 3 sin φ 0 ,
(3.54)
x = e 1 x + e 2 y + e 3 z = e 1 0 x
0 + e 2 0 y
0 + e 3 0 z
0 =
= e 1
`
x
0 sin φ 0 cos λ 0 − y
0 sin λ 0 + z
0 cos φ 0 cos λ 0
´
+
+e 2
`
x
0 sin φ 0 sin λ 0 + y
0 cos λ 0 + z
0 cos φ 0 sin λ 0
´
+ e 3
` − x
0 cos φ 0 + z
0 sin φ 0
´
=
= re 1 cos φ cos λ + re 2 cos φ sin λ + re 3 sin φ =
= re 1
`
cos β cos α sin φ 0 cos λ 0 − cos β sin α sin λ 0 + sin β cos φ 0 cos λ 0
´
+
+re 2
`
cos β cos α sin φ 0 sin λ 0 + cos β sin α cos λ 0 + sin β cos φ 0 sin λ 0
´
+
+re 3
` − cos β cos α cos φ 0 + sin β sin φ 0
´
.
(3.55)
Box 3.8 (From the meta-equatorial (oblique) frame of reference {e 1 0 , e 2 0 , e 3 0 O} to the equatorial frame
of reference {e 1 , e 2 , e 3 O}: the inverse transformation).
(i) The first identity:
x = r cos φ cos λ ⇒ cos λ =
x
r cos φ
,
cos λ =
1
cos φ
`
cos β cos α sin φ 0 cos λ 0 − cos β sin α sin λ 0 + sin β cos φ 0 cos λ 0
´
.
(3.56)
(ii) The second identity:
y = r cos φ sin λ ⇒ sin λ =
y
r cos φ
,
sin λ =
1
cos φ
`
cos β cos α sin φ 0 sin λ 0 + cos β sin α cos λ 0 + sin β cos φ 0 sin λ 0
´
.
(3.57)
(iii) The third identity:
z = r sin φ ⇒ sin φ =
z
r
,
sin φ = − cos β cos α cos φ 0 + sin β sin φ 0 .
(3.58)
Box 3.6 (The forward problem of transforming spherical frames of reference. Input variables: λ, φ, λ 0 , φ 0 .
Output variables: α, β).
(i) The first and second identities:
tan α =
cos φ sin(λ − λ 0 )
cos φ sin φ 0 cos(λ − λ 0 ) − sin φ cos φ 0
, tan α =
sin(λ − λ 0 )
sin φ 0 cos(λ − λ 0 ) − tan φ cos φ 0
. (3.51)
Alternatives:
sin α =
1
cos β
cos φ sin(λ − λ 0 ) ,
cos α =
1
cos β
`
cos φ sin φ 0 cos(λ − λ 0 ) − sin φ cos φ 0
´
.
(3.52)
(ii) The third identity:
sin β = sin ψ = cos φ cos φ 0 cos(λ − λ 0 ) + sin φ sin φ 0 .
(3.53)
Box 3.7 (Representation of a placement vector x ∈ S
2
r in both the equatorial frame of reference
{e 1 , e 2 , e 3 O} and the meta-equatorial (oblique) frame of reference {e 1 0 , e 2 0 , e 3 0 O}).
e 1 0 = +e 1 sin φ 0 cos λ 0 + e 2 sin φ 0 sin λ 0 − e 3 cos φ 0 ,
e 2 0 = −e 1 sin λ 0 + e 2 cos λ 0 ,
e 3 0 = +e 1 cos φ 0 cos λ 0 + e 2 cos φ 0 sin λ 0 + e 3 sin φ 0 ,
(3.54)
x = e 1 x + e 2 y + e 3 z = e 1 0 x
0 + e 2 0 y
0 + e 3 0 z
0 =
= e 1
`
x
0 sin φ 0 cos λ 0 − y
0 sin λ 0 + z
0 cos φ 0 cos λ 0
´
+
+e 2
`
x
0 sin φ 0 sin λ 0 + y
0 cos λ 0 + z
0 cos φ 0 sin λ 0
´
+ e 3
` − x
0 cos φ 0 + z
0 sin φ 0
´
=
= re 1 cos φ cos λ + re 2 cos φ sin λ + re 3 sin φ =
= re 1
`
cos β cos α sin φ 0 cos λ 0 − cos β sin α sin λ 0 + sin β cos φ 0 cos λ 0
´
+
+re 2
`
cos β cos α sin φ 0 sin λ 0 + cos β sin α cos λ 0 + sin β cos φ 0 sin λ 0
´
+
+re 3
` − cos β cos α cos φ 0 + sin β sin φ 0
´
.
(3.55)
Box 3.8 (From the meta-equatorial (oblique) frame of reference {e 1 0 , e 2 0 , e 3 0 O} to the equatorial frame
of reference {e 1 , e 2 , e 3 O}: the inverse transformation).
(i) The first identity:
x = r cos φ cos λ ⇒ cos λ =
x
r cos φ
,
cos λ =
1
cos φ
`
cos β cos α sin φ 0 cos λ 0 − cos β sin α sin λ 0 + sin β cos φ 0 cos λ 0
´
.
(3.56)
(ii) The second identity:
y = r cos φ sin λ ⇒ sin λ =
y
r cos φ
,
sin λ =
1
cos φ
`
cos β cos α sin φ 0 sin λ 0 + cos β sin α cos λ 0 + sin β cos φ 0 sin λ 0
´
.
(3.57)
(iii) The third identity:
z = r sin φ ⇒ sin φ =
z
r
,
sin φ = − cos β cos α cos φ 0 + sin β sin φ 0 .
(3.58)