1-14 Review: the canonical criteria 89
Box 1.54 (Angular parameters Ψ l and Ψ r ).
“Left”:
“Right”:
X
:=
∂X
∂U
dU
dS
+
∂X
∂V
dV
dS
;
x
:=
∂x
∂u
du
ds
+
∂x
∂v
dv
ds
;
cos Ψ l = X
1 cos Ψ l =
˙
X
C1
¸
,
cos Ψ r = x
1 cos Ψ r =
˙
x
c1
¸
,
cos Ψ l =
√
G 11 U
;
c o s Ψ r =
√
g 11 u
;
sin Ψ l = cos
“ π
2
− Ψ l
”
=
s i n Ψ r = cos
“ π
2
− Ψ r
”
=
= X
2 cos
“ π
2
− Ψ l
”
=
˙
X
C 2
¸
,
= x
2 cos
“ π
2
− Ψ r
”
=
˙
x
c 2
¸
,
sin Ψ l =
√
G 22 V
.
sin Ψ r =
√ g 22 v
.
(1.326)
Box 1.55 (Transformation of angular parameters Ψ l and Ψ r . Special case: G 12 = 0, c 12 = 0, u(U ), v(V )
versus U (u), V (v)).
cos Ψ l =
√
G 11 U
=
p
G 11 U 2 ,
cos Ψ r =
√
g 11 u
=
p
g 11 u 2 ,
sin Ψ l =
√
G 22 V
=
p
G 22 V 2 .
sin Ψ r =
√ g 22 v
=
p
g 22 v 2 ,
u
=
du
ds
, v
=
dv
ds
.
(1.327)
U
=
dU
du
du
ds
ds
dS
, V
=
dV
dv
dv
ds
ds
dS
u
=
du
dU
dU
dS
dS
ds
, v
=
dv
dV
dV
dS
dS
ds
⇒
⇒
cos Ψ l =
s
G 11
„
dU
du
« 2
u
ds
dS
,
cos Ψ r =
s
g 11
„
du
dU
« 2
U
dS
ds
,
sin Ψ l =
s
G 22
„
dV
dv
« 2
v
ds
dS
sin Ψ r =
s
g 22
„
dv
dV
« 2
V
dS
ds
⇒
⇒
cos Ψ l =
√
C 11 u
ds
dS
, sin Ψ l =
√
C 22 v
ds
dS
.
cos Ψ r =
√
c 11 U
dS
ds
, sin Ψ r =
√ c 22 V
dS
ds
.
(1.328)
Corollary 1.21 (The canonical representation of left angular shear and right angular shear. Special case:
G 12 = 0, c 12 = 0 and g 12 = 0, C 12 = 0).
Let
l := Ψ l − Ψ r and
r := Ψ r − Ψ l , respectively, denote left and right angular shear, a measure
of the deviation of the mapping M
2
l → M
2
r from conformality. Then a canonical representation of the
angular parameters Ψ l and Ψ r as well as of the angular shear parameters
l and
r is
tan Ψ l =
λ 2
λ 1
tan Ψ r versus tan Ψ r =
Λ 1
Λ 2
tan Ψ l ,
(1.329)
tan
l = (Λ 1 − Λ 2 )
tan Ψ l
Λ 1 + Λ 2 tan
2 Ψ l
versus tan
r = (λ 1 − λ 2 )
tan Ψ r
λ 1 + λ 2 tan
2 Ψ r
.
(1.330)
End of Corollary.