Chapitre 13. Analyse de variance ´ el´ ementaire
565
13.3.3 Mod` ele ` a deux facteurs ` a mesures r´ ep´ et´ ees
sur un seul facteur
Objectif : On consid` ere le cas o` u les sujets sont r´ epartis dans des groupes
d´ efinis par les I modalit´ es du facteur fixe A. Pour chaque sujet, on mesure
la variable r´ eponse ` a toutes les J modalit´ es du facteur fixe B.
Exemple support : Dans une exp´ erience, les sujets doivent estimer la longueur d’une barre m´ etallique. Les barres pr´ esent´ ees ont trois longueurs
diff´ erentes. On forme deux groupes de quatre sujets distincts. Dans chaque
groupe, on pr´ esente ` a chaque sujet trois barres de longueurs diff´ erentes.
G1
Sujet L1 L2 L3
1
10 11
9
2
18 20 17
3
6
8
8
4
4
9
9
G2
Sujet L1 L2 L3
1
3
6
3
2
16 20 14
3
5
6
3
4
10 10
6
Le mod` ele :
Y s(i) j = μ •• + α
A
i + α
B
j + β i j + π
A
s(i) + s(i) j , s = 1, . . . , n, i = 1, . . . , I, j = 1, . . . , J
o` u les π s(i) sont des variables al´ eatoires i.i.d. de loi N(0, σ
2
π ) qui mesurent
les effets al´ eatoires des modalit´ es s du facteur sujet. Les erreurs s(i) j sont
des variables al´ eatoires i.i.d. de loi N(0, σ
2 ). En outre, on suppose que les
s(i) j sont ind´ ependantes des π s(i) . Les termes μ •• , α
A
i , α
B
j , β i j ont ´ et´ e d´ efinis
` a la section 13.2. Afin que le mod` ele soit identifiable, il faut imposer les
contraintes
I
i=1 α
A
i = 0,
J
j=1 α
B
j = 0, ∀ j,
I
i=1 β i j = 0, ∀i,
J
j=1 β i j = 0. Par
ailleurs, y s(i) j , r´ ealisation de la variable al´ eatoire Y s(i) j , repr´ esente l’observation du s-i` eme sujet du i-i` eme groupe du facteur A, pour le niveau j
du facteur B. La notation s(i) permet de souligner le fait que le facteur
sujet est « emboˆ ıt´ e » (nested ) dans le facteur A.
Instructions R :
summary(aov(Y∼A * B + Error(sujet %in% A),data=mon.data.frame))
ou de fa¸ con ´ equivalente :
summary(aov(Y ∼ A * B + Error(sujet:A),data=mon.data.frame))
Retour ` a l’exemple support :
> barre.estim <- data.frame(barre=c(10,11,9,3,6,3,18,20,17,
+
16,20,14,6,8,8,5,6,3,4,9,9,10,10,6),
+
sujet=gl(4,6,24),
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13.3.3 Mod` ele ` a deux facteurs ` a mesures r´ ep´ et´ ees
sur un seul facteur
Objectif : On consid` ere le cas o` u les sujets sont r´ epartis dans des groupes
d´ efinis par les I modalit´ es du facteur fixe A. Pour chaque sujet, on mesure
la variable r´ eponse ` a toutes les J modalit´ es du facteur fixe B.
Exemple support : Dans une exp´ erience, les sujets doivent estimer la longueur d’une barre m´ etallique. Les barres pr´ esent´ ees ont trois longueurs
diff´ erentes. On forme deux groupes de quatre sujets distincts. Dans chaque
groupe, on pr´ esente ` a chaque sujet trois barres de longueurs diff´ erentes.
G1
Sujet L1 L2 L3
1
10 11
9
2
18 20 17
3
6
8
8
4
4
9
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G2
Sujet L1 L2 L3
1
3
6
3
2
16 20 14
3
5
6
3
4
10 10
6
Le mod` ele :
Y s(i) j = μ •• + α
A
i + α
B
j + β i j + π
A
s(i) + s(i) j , s = 1, . . . , n, i = 1, . . . , I, j = 1, . . . , J
o` u les π s(i) sont des variables al´ eatoires i.i.d. de loi N(0, σ
2
π ) qui mesurent
les effets al´ eatoires des modalit´ es s du facteur sujet. Les erreurs s(i) j sont
des variables al´ eatoires i.i.d. de loi N(0, σ
2 ). En outre, on suppose que les
s(i) j sont ind´ ependantes des π s(i) . Les termes μ •• , α
A
i , α
B
j , β i j ont ´ et´ e d´ efinis
` a la section 13.2. Afin que le mod` ele soit identifiable, il faut imposer les
contraintes
I
i=1 α
A
i = 0,
J
j=1 α
B
j = 0, ∀ j,
I
i=1 β i j = 0, ∀i,
J
j=1 β i j = 0. Par
ailleurs, y s(i) j , r´ ealisation de la variable al´ eatoire Y s(i) j , repr´ esente l’observation du s-i` eme sujet du i-i` eme groupe du facteur A, pour le niveau j
du facteur B. La notation s(i) permet de souligner le fait que le facteur
sujet est « emboˆ ıt´ e » (nested ) dans le facteur A.
Instructions R :
summary(aov(Y∼A * B + Error(sujet %in% A),data=mon.data.frame))
ou de fa¸ con ´ equivalente :
summary(aov(Y ∼ A * B + Error(sujet:A),data=mon.data.frame))
Retour ` a l’exemple support :
> barre.estim <- data.frame(barre=c(10,11,9,3,6,3,18,20,17,
+
16,20,14,6,8,8,5,6,3,4,9,9,10,10,6),
+
sujet=gl(4,6,24),