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Le logiciel R - Effectuer des analyses statistiques
SECTION 13.2
Analyse de la variance ` a deux facteurs
13.2.1 Objectifs, donn´ ees et mod` ele
Objectif : L’ANOVA ` a deux facteurs (two way ANOVA) est une m´ ethode
visant ` a expliquer une variable quantitative par deux variables explicatives qualitatives (appel´ ees facteurs) « crois´ ees ».
Remarque
En ANOVA, les variables explicatives sont souvent appel´ ees (notamment dans les recherches en psychologie) les variables ind´ ependantes
(independent variables, not´ e IV ).
Les donn´ ees : Soit un facteur A ayant I modalit´ es et un facteur B ayant
J modalit´ es. Pour tout couple (i, j), i = 1, . . . , I et j = 1, . . . , J, on observe
une variable quantitative Y i j , n i j fois. On suppose que Y i j suit une loi
normale N(μ i j , σ
2 ) sur chaque population form´ ee par le croisement i j des
deux facteurs.
Le mod` ele : Il s’´ ecrit
Y i jk = μ i j + i jk , pour k = 1, . . . , n i j , i = 1, . . . , I, j = 1, . . . , J,
et o` u les erreurs i jk sont variables al´ eatoires ind´ ependantes de loi N(0, σ
2 ).
Dans ce mod` ele, les param` etres r´ eels μ 11 , . . . , μ I1 , . . . , μ 1J , . . . , μ IJ sont inconnus ainsi que la variance σ
2 .
On d´ ecompose μ i j de fa¸ con ` a faire « apparaˆ ıtre » les effets des facteurs A
et B et de leur ´ eventuelle interaction :
μ i j = μ •• + α A
i + α B
j + β i j
o` u
– μ •• =
1
IJ
I
i=1
J
j=1 μ i j : effet moyen g´ en´ eral ;
– μ i• =
1
J
J
j=1 μ i j : effet du niveau i du facteur A ;
– α
A
i = μ i• − μ •• : effet diff´ erentiel du niveau i du facteur A ;
– μ • j =
1
I
I
i=1 μ i j : effet du niveau j du facteur B ;
– α
B
j = μ • j − μ •• : effet diff´ erentiel du niveau j du facteur B ;
– β i j = μ i j − μ •• − α A
i − α B
j : effet d’interaction du niveau i du facteur A
et du niveau j du facteur B.