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Le logiciel R - Effectuer des analyses statistiques
Remarque
On pourrait penser ` a utiliser l’estimateur des moindres carr´ es ˆ
β
† =
X
+ BWT, bas´ e sur l’inverse g´ en´ eralis´ ee (de Moore-Penrose) X
+ de X, d´ efinie
` a la page 352 du chapitre 8.
> mpinv(model.matrix(summary(lm(BWT ∼ LWT + RACE1 + RACE2 +
+
RACE3)))) % * % as.matrix(BWT)
[,1]
[1,] 1692.46453
[2,]
10.26709
[3,] 796.29883
[4,] 343.53360
[5,] 552.63210
Mais l’ennui est qu’il est difficile d’interpr´ eter les coefficients de ce vecteur puisque des contraintes lin´ eaires non controlables sur ses composantes
ont ´ et´ e utilis´ ees (dans le sens que deux d’entres elles s’expriment en fonction
de toutes les autres).
Nous pouvons constater que le mod` ele (12.1) peut se r´ e´ ecrire ainsi :
BWT = β 0 + β 1 LWT + β 2 RACE1 + β 3 RACE2 + β 4 RACE3 +
= β 0 + β 1 LWT + β 2 (1 − RACE2 − RACE3) + β 3 RACE2 + β 4 RACE3 +
= (β 0 + β 2 )
γ 0
+ β 1
γ 1
LWT + (β 3 − β 2 )
γ 2
RACE2 + (β 4 − β 2 )
γ 3
RACE3 + .
Sous cette derni` ere forme, le mod` ele est maintenant identifiable (les γ i sont
estimables). Ceci se v´ erifie ais´ ement sur la sortie ci-dessous :
> summary(lm(BWT∼LWT+RACE2+RACE3))$coeff
Estimate Std. Error
t value
Pr(>|t|)
(Intercept) 2488.76336 241.863663 10.289943 6.348821e-20
LWT
10.26709
3.856339 2.662393 8.442125e-03
RACE2
-452.76523 157.481809 -2.875032 4.513529e-03
RACE3
-243.66673 113.825910 -2.140697 3.360769e-02
Cela consiste `
a prendre comme groupe de r´ ef´ erence RACE = 1 (blanche),
i.e. ` a consid´ erer le mod` ele de r´ egression lin´ eaire avec uniquement les variables
indicatrices des autres groupes (RACE2 et RACE3).
Pour ajuster un mod` ele contenant une ou des variables qualitatives explicatives, il est d’usage d’utiliser la fonction factor() dans l’instruction lm(),
comme on peut le voir ci-apr` es :
> modele4 <- lm(BWT∼LWT+factor(RACE))
> summary(modele4)$coeff
Estimate Std. Error
t value
Pr(>|t|)
Le logiciel R - Effectuer des analyses statistiques
Remarque
On pourrait penser ` a utiliser l’estimateur des moindres carr´ es ˆ
β
† =
X
+ BWT, bas´ e sur l’inverse g´ en´ eralis´ ee (de Moore-Penrose) X
+ de X, d´ efinie
` a la page 352 du chapitre 8.
> mpinv(model.matrix(summary(lm(BWT ∼ LWT + RACE1 + RACE2 +
+
RACE3)))) % * % as.matrix(BWT)
[,1]
[1,] 1692.46453
[2,]
10.26709
[3,] 796.29883
[4,] 343.53360
[5,] 552.63210
Mais l’ennui est qu’il est difficile d’interpr´ eter les coefficients de ce vecteur puisque des contraintes lin´ eaires non controlables sur ses composantes
ont ´ et´ e utilis´ ees (dans le sens que deux d’entres elles s’expriment en fonction
de toutes les autres).
Nous pouvons constater que le mod` ele (12.1) peut se r´ e´ ecrire ainsi :
BWT = β 0 + β 1 LWT + β 2 RACE1 + β 3 RACE2 + β 4 RACE3 +
= β 0 + β 1 LWT + β 2 (1 − RACE2 − RACE3) + β 3 RACE2 + β 4 RACE3 +
= (β 0 + β 2 )
γ 0
+ β 1
γ 1
LWT + (β 3 − β 2 )
γ 2
RACE2 + (β 4 − β 2 )
γ 3
RACE3 + .
Sous cette derni` ere forme, le mod` ele est maintenant identifiable (les γ i sont
estimables). Ceci se v´ erifie ais´ ement sur la sortie ci-dessous :
> summary(lm(BWT∼LWT+RACE2+RACE3))$coeff
Estimate Std. Error
t value
Pr(>|t|)
(Intercept) 2488.76336 241.863663 10.289943 6.348821e-20
LWT
10.26709
3.856339 2.662393 8.442125e-03
RACE2
-452.76523 157.481809 -2.875032 4.513529e-03
RACE3
-243.66673 113.825910 -2.140697 3.360769e-02
Cela consiste `
a prendre comme groupe de r´ ef´ erence RACE = 1 (blanche),
i.e. ` a consid´ erer le mod` ele de r´ egression lin´ eaire avec uniquement les variables
indicatrices des autres groupes (RACE2 et RACE3).
Pour ajuster un mod` ele contenant une ou des variables qualitatives explicatives, il est d’usage d’utiliser la fonction factor() dans l’instruction lm(),
comme on peut le voir ci-apr` es :
> modele4 <- lm(BWT∼LWT+factor(RACE))
> summary(modele4)$coeff
Estimate Std. Error
t value
Pr(>|t|)