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Le logiciel R - Effectuer des analyses statistiques
12.2.5 Tests de Student pour des moyennes et mod` ele
lin´ eaire
Il est int´ eressant de remarquer que les tests de Student pour une ou deux
moyennes, `
a un ´ echantillon ou `
a deux ´ echantillons ind´ ependants ou appari´ es,
sont des cas particuliers du mod` ele de r´ egression lin´ eaire simple.
• Test de Student ` a un ´ echantillon
Soit Y 1 , . . . , Y n i.i.d. de loi N(μ, σ
2 ). On veut tester
H 0 : μ = μ 0 versus H 1 : μ μ 0 ,
pour une certaine valeur de r´ ef´ erence μ 0 donn´ ee. Cela peut se faire par
un test de β = 0 dans le mod` ele
Y i − μ 0 = β + i ,
o` u les i sont i.i.d. de loi N(0, σ
2 ), 1 ≤ i ≤ n. Voyons ceci sur un exemple.
> n <- 100
> y <- rnorm(n,mean=0)
> mu0 <- 0.1
> t.test(y,mu=mu0)[[3]]
[1] 0.4178768
> summary(lm(y-mu0 ∼ 1))[[4]][1,4]
[1] 0.4178768
• Test de Student ` a deux ´ echantillons ind´ ependants
Soit X
(1)
1 , . . . , X
(1)
n 1 i.i.d. de loi N(μ 1 , σ
2 ), et X
(2)
1 , . . . , X
(2)
n 2 i.i.d. de loi N(μ 2 , σ
2 ),
deux ´ echantillons ind´ ependants. On veut tester
H 0 : μ 1 = μ 2 versus H 1 : μ 1 μ 2 .
Cela peut se faire en testant β 1 = 0 dans le mod` ele
Y i = μ 1 + β 1 A i + i ,
o` u les i sont i.i.d. de loi N(0, σ
2 ), et o` u l’on pose
A i =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
0
si 1 ≤ i ≤ n 1 ,
1 si n 1 + 1 ≤ i ≤ n 1 + n 2 ,
et
Y i =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
X
(1)
i
si 1 ≤ i ≤ n 1 ,
X
(2)
i−n 1
si n 1 + 1 ≤ i ≤ n 1 + n 2 .
Voyons ceci sur un exemple.