Chapitre 12. R´ egression lin´ eaire simple et multiple
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nouvelle valeur x 0 est donn´ e par :
ˆ
Y
p
0 = ˆ
β 0 + ˆ
β 1 x 0 .
Nous pouvons aussi proposer un intervalle de pr´ evision (ou de pr´ ediction)
de niveau 1 − α pour Y 0 , qui consiste ` a trouver deux bornes al´ eatoires qui
encadreront la variable al´ eatoire Y 0 avec une probabilit´ e ´ egale ` a 1 − α :
IP 1−α (Y 0 |x 0 ) =
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
ˆ
Y
p
0 ± t
(n−2)
1−α/2
ˆ
σ
1 +
1
n
+
(x 0 − x) 2
n
i=1 (x i − x) 2
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ .
Notez que la valeur r´ ealis´ ee ˆ
y
p
0 = ˆ
β 0 + ˆ
β 1 x 0 est appel´ ee la pr´ evision (ou pr´ ediction) de la valeur non observ´ ee y 0 = β 0 + β 1 x 0 + 0 .
Dans le mˆ eme ordre d’id´ ees, notez qu’un estimateur de la valeur fixe et
inconnue E(Y 0 |X = x 0 ) = β 0 + β 1 x 0 est donn´ e par :
ˆ
E(Y 0 |X = x 0 ) := ˆ
Y 0 = ˆ
β 0 + ˆ
β 1 x 0 .
Nous pouvons ´ egalement proposer un intervalle de confiance de niveau 1 − α
pour E(Y 0 |X = x 0 ) :
IC 1−α (β 0 + β 1 x 0 ) =
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
ˆ
Y 0 ± t
(n−2)
1−α/2
ˆ
σ
1
n
+
(x 0 − x) 2
n
i=1 (x i − x) 2
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ .
Attention
Notez que l’on a ˆ
Y
p
0 = ˆ
Y 0 , mais qu’il ne faut pas confondre l’intervalle
de pr´ ediction de Y 0 avec l’intervalle de confiance de la valeur moyenne
E(Y 0 |X = x 0 ) = β 0 + β 1 x 0 .
Instruction R
La fonction permettant de d´ efinir l’intervalle de pr´ evision et l’intervalle de
confiance pour une nouvelle valeur x 0 est predict().
Exemple sur l’´ etude « Poids de naissance »
Calculons la pr´ ediction pour le poids d’un b´ eb´ e dont la m` ere a un poids de
lwt = 56 kg.
> lwt0 <- 56
> predict(modele1,data.frame(LWT=lwt0),interval="prediction")
fit
lwr
upr
1 2916.504 1495.699 4337.309