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Le logiciel R - Effectuer des analyses math´ ematiques
> red <- sqrt((nrow(A)-1)/nrow(A))
> scale(A,center=FALSE,scale=apply(A,2,sd) * red)
[,1] [,2]
[1,]
4
10
[2,]
6
8
attr(,"scaled:scale")
[1] 0.5 0.5
> # ou de façon équivalente: t(A/apply(A,2,sd))/red
8.2.8 Calcul des valeurs propres et vecteurs propres
On peut obtenir les valeurs propres et les vecteurs propres d’une matrice
au moyen de la fonction eigen().
> eigen(A)
$values
[1] 7 -1
$vectors
[,1]
[,2]
[1,] -0.7071068 -0.8574929
[2,] -0.7071068 0.5144958
Astuce
Notez que pour une matrice hermitienne C (c’est-` a-dire une matrice
complexe ´ egale ` a sa transconjugu´ ee), la fonction eigen() permet d’obtenir
la d´ ecomposition aux valeurs propres de cette matrice C, c’est-` a-dire C =
VDV
∗ (o` u V
∗ est la matrice adjointe de V) :
> C <- matrix(c(1,1i,-1i,3),ncol=2)
> e <- eigen(C,symmetric=TRUE)
> V <- e$vectors
> D <- diag(e$values)
> all.equal(C,V% * %D% * %t(Conj(V)))
[1] TRUE
8.2.9 Racine carr´ ee d’une matrice hermitienne
d´ efinie positive
Une racine carr´ ee d’une matrice d´ efinie positive C est toute matrice M qui
v´ erifie M
∗
M = C, o` u M
∗ d´ esigne la matrice adjointe (transpos´ ee conjugu´ ee)
de M. On la note en g´ en´ eral C
1/2 mˆ eme si elle n’est pas unique. Lorsque C est