xxiv
Le logiciel R
10 Variables al´ eatoires, lois et simulations : une meilleure compr´ ehension
grˆ ace aux sp´ ecificit´ es de R
411
10.1
Notions sur la g´ en´ eration de nombres au hasard . . . . . .
411
10.2
La notion de variable al´ eatoire . . . . . . . . . . . . . . . .
413
10.2.1
R´ ealisations d’une variable al´ eatoire et loi de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
413
10.2.2
Variables al´ eatoires i.i.d. . . . . . . . . . . . . . . .
415
10.2.3
Caract´ eriser la loi d’une variable al´ eatoire . . . . . .
416
10.2.3.1
Densit´ e, fonction de r´ epartition, fonction quantile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
417
10.2.4
Param` etres de la loi d’une variable al´ eatoire . . . .
420
10.3
Loi des grands nombres et th´ eor` eme de la limite centrale .
423
10.3.1
Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . .
423
10.3.2
Th´ eor` eme de la limite centrale . . . . . . . . . . . .
424
10.4
La statistique inf´ erentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
425
10.4.1
Estimation (ponctuelle) de param` etres . . . . . . .
425
10.4.2
La fonction de r´ epartition empirique . . . . . . . . .
427
10.4.3
Estimation par la m´ ethode du maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
428
10.4.4
Fluctuation d’´ echantillonnage et qualit´ es d’un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
430
10.5
Quelques techniques de simulation (d’une loi) . . . . . . . .
432
10.5.1
Simuler ` a partir d’une autre loi . . . . . . . . . . . .
433
10.5.2
M´ ethode de la transformation inverse . . . . . . . .
433
10.5.3
M´ ethode du rejet . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
434
10.5.4
Simulation de variables al´ eatoires discr` etes . . . . .
435
10.6
La m´ ethode du bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
435
10.7
Lois usuelles et moins usuelles . . . . . . . . . . . . . . . .
436
10.7.1
Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
436
10.7.2 † Lois moins usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
439
10.8
Mod´ elisation d’un ph´ enom` ene . . . . . . . . . . . . . . . .
440
Termes ` a retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
444
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
444
Fiche de TP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
444
11 Intervalles de confiance et tests d’hypoth` eses
449
11.1
Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
449
11.2
Intervalles de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
450
11.2.1
Intervalles de confiance pour une moyenne . . . . .
451
11.2.2
Intervalles de confiance pour une proportion . . . .
452
11.2.3
Intervalles de confiance pour une variance . . . . . .
453
11.2.4
Intervalles de confiance pour une m´ ediane . . . . . .
455
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10 Variables al´ eatoires, lois et simulations : une meilleure compr´ ehension
grˆ ace aux sp´ ecificit´ es de R
411
10.1
Notions sur la g´ en´ eration de nombres au hasard . . . . . .
411
10.2
La notion de variable al´ eatoire . . . . . . . . . . . . . . . .
413
10.2.1
R´ ealisations d’une variable al´ eatoire et loi de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
413
10.2.2
Variables al´ eatoires i.i.d. . . . . . . . . . . . . . . .
415
10.2.3
Caract´ eriser la loi d’une variable al´ eatoire . . . . . .
416
10.2.3.1
Densit´ e, fonction de r´ epartition, fonction quantile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
417
10.2.4
Param` etres de la loi d’une variable al´ eatoire . . . .
420
10.3
Loi des grands nombres et th´ eor` eme de la limite centrale .
423
10.3.1
Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . .
423
10.3.2
Th´ eor` eme de la limite centrale . . . . . . . . . . . .
424
10.4
La statistique inf´ erentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
425
10.4.1
Estimation (ponctuelle) de param` etres . . . . . . .
425
10.4.2
La fonction de r´ epartition empirique . . . . . . . . .
427
10.4.3
Estimation par la m´ ethode du maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
428
10.4.4
Fluctuation d’´ echantillonnage et qualit´ es d’un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
430
10.5
Quelques techniques de simulation (d’une loi) . . . . . . . .
432
10.5.1
Simuler ` a partir d’une autre loi . . . . . . . . . . . .
433
10.5.2
M´ ethode de la transformation inverse . . . . . . . .
433
10.5.3
M´ ethode du rejet . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
434
10.5.4
Simulation de variables al´ eatoires discr` etes . . . . .
435
10.6
La m´ ethode du bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
435
10.7
Lois usuelles et moins usuelles . . . . . . . . . . . . . . . .
436
10.7.1
Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
436
10.7.2 † Lois moins usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
439
10.8
Mod´ elisation d’un ph´ enom` ene . . . . . . . . . . . . . . . .
440
Termes ` a retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
444
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
444
Fiche de TP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
444
11 Intervalles de confiance et tests d’hypoth` eses
449
11.1
Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
449
11.2
Intervalles de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11.2.1
Intervalles de confiance pour une moyenne . . . . .
451
11.2.2
Intervalles de confiance pour une proportion . . . .
452
11.2.3
Intervalles de confiance pour une variance . . . . . .
453
11.2.4
Intervalles de confiance pour une m´ ediane . . . . . .
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