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Exercices
2) On suppose que la fonction i est continue sur l’intervalle [d> e] et
dérivable sur l’intervalle ouvert ]d> e[.O np o s e
*({)=
Z +k
i ({) g{ ki ()
où d + k e= Montrer qu’il existe un nombre f 5]0>k[ tel
que
*(k)=
k
2
2
i
0 (f + )
3) On suppose que le module de la dérivée première de i est borné
par un nombre n, montrer que
¯
¯
¯
¯
¯
Z e
d
i ({) g{ V
¯
¯
¯
¯
¯
1
2
n
(e d)
2
q
4) Dans la méthode des trapèzes, on remplace la fonction i par une
fonction a!ne par morceaux. Soit k la fonction définie sur l’intervalle
[{ m >{ m+1 ]p a r
k({)=
i ({ m +1) i ({ m )
k
({ { m )+i ({ m )
Montrer que
V =
k
2
q1 X
m=0
(i (d + mk)+i (d +(m +1)k))
5) Soit i et j deux fonctions continues sur l’intervalle [d> e] et dérivables sur ]d> e[.O np o s e
*({)=i (e) i ({)
i (e) i (d)
j(e) j(d)
(j(e) j({))
Montrer qu’il existe une constante f de ]d> e[ vérifiant
i (e) i (d)
j(e) j(d)
=
i
0 (f)
j 0 (f)
6) On suppose que i est deux fois dérivable sur ]d> e[. Montrer que si
on pose
*({)=
Z +k
i ({) g{
k
2
(i ()+i ( + k))
il existe une constante f sur ]0>k[ telle que
*(k)=k
3 *
00 (f)
6f