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Méthodes projectives
5.4.7 Méthode GMRES
La méthode GMRES (Generalized Minimum Residual Method )d i ère
peu de la méthode d’Arnoldi. Dans la méthode d’Arnoldi, la solution choisie dépend d’un vecteur | p , qui est construit de sorte que le résidu Y p | p
reste orthogonal à tous les vecteurs de l’espace de Krylov K p (D> u 0 ).A u
contraire, la méthode GMRES cherche à construire un vecteur | p qui
minimise le résidu Y p | p . On remplace donc la résolution du système
K p | p = h 1 par une procédure qui détermine le vecteur | p qui minimise
°
°
°h 1 e
K p | p
°
°
°
Une solution pour ce problème consiste à transformer la matrice e
K p en
une matrice triangulaire supérieure à l’aide des rotations de Givens. Ces
rotations correspondent aux matrices
J l =
3
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
C
10===
===
=== 0
0
. . .
0
01
f l v l
. . .
. . .
v l f l
10
. . . 0
0 ===
=== 01
4
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
D
Les valeurs f l et v l sont choisies de façon à éliminer l’élément k l+1>l .P a r
exemple, en choisissant
f 1 =
k 1>1
p
k 2
11 + k 2
21
et v 1 =
k 2>1
p
k 2
11 + k 2
21
le produit J 1 e
K p conduit à une matrice dont l’élément k 2>1 a été éliminé.
En répétant ce procédé, on construit une matrice triangulaire supérieure
J p J p1 ===J 1 e
K p =
3
E
E
E
E
E
E
E
C
k 11 k 12 ===
k 1>p1
k 1>p
0 k 22
k 2>p
. . .
. . .
. . .
0
k p1>p1 k p1>p
00===
0
k p>p
00===
00
4
F
F
F
F
F
F
F
D
En posant E p = J p J p1 ===J 1 , le vecteur | p cherché est solution de
l’équation
°
°
°E p h 1 E p e
K p | p
°
°
° =0
C es y s t è m es er é s o u tp a rl am é t h o d ed er e m o n t é e .