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Méthodes itératives
De même, on porte {
(1)
et |
(1)
dans le calcul de }
(1)
}
(1) =(e 3 d 31 {
(1) d 32 |
(1) )@d 33
À chaque itération, on eectue (q 1) multiplications, q additions et une
division. Pour stocker D et les vecteurs e, { n et { n+1 > on utilise (q
2 +2q)
mémoires. Si D et e sont calculés, on emploie q mémoires. La méthode
ne converge pas toujours. On démontre que si D est une matrice définie
positive, la méthode itérative converge. De même, si D est une matrice
diagonalement dominante, c’est-à-dire si
|d ll | A
X
m6 =l
|d lm |
alors la méthode de Gauss-Seidel converge.
Exemple. Considérons le système
;
?
=
{ =1 |@2 }@4
| =1+{@2
} =9@4 {@2 |@4
Partant du point { 0 =(0> 0> 0), on calcule successivement
{ 1 =(1> 3@2> 11@8)
{ 2 =(3@32> 61@64> 527@256)
{ 3 =(9@1024> 2047@2048> 16349@8192)
Cet ensemble de points converge vers la solution exacte (0> 1> 2)= La méthode de Gauss-Seidel est aussi utilisée pour résoudre des systèmes non
linéaires.
Exemple. Soit à résoudre le système
½
{ =sin({|) |@2
| =2{ ( 1@4)(h
2{1 1)
Partant du point (2@5> 3)> on calcule successivement
{ 1 =(0=455> 3=03)
{ 2 =(0=499> 3=11)
{ 3 =(0=505> 3=14)
qui converge vers la solution { =1@2, | = =