5. Systèmes linéaires
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Exemple. Considérons le système
3
C
42 1
120
21 4
4
D
3
C
{
|
}
4
D =
3
C
4
2
9
4
D
m i ss o u sl af o r m e
;
?
=
{ =1 |@2 }@4
| =1+{@2
} =9@4 {@2 |@4
Soit { 0 =(0> 0> 0) le vecteur initial, en calculant les itérées on trouve
{ 1 =(1> 1> 9@4)
{ 2 =(1@16> 3@2> 3@2)
{ 3 =(1@8> 1@32> 61@32)
{ 4 =(5@128> 15@16> 265@128)
{ 5 =(7@512> 261@256> 511@256)
La suite { n converge vers la solution du système (0> 1> 2)=
5.3.2 Méthode de Gauss-Seidel
Dans la méthode de Gauss-Seidel, publiée en 1874 par Ludwig Seidel
(1821-1896), on choisit P = G H et Q = I> ce qui conduit à considérer
la relation de récurrence
{ n+1 =(G H)
1 I{ n +(G H)
1 e
C’est une amélioration de la méthode de Jacobi dans laquelle les valeurs
calculées sont utilisées au fur et à mesure du calcul et non à l’issue d’une
itération comme dans la méthode de Jacobi. On améliore ainsi la vitesse
de convergence. Considérons un système à trois équations
;
?
=
{ =(e 1 d 12 | d 13 })@d 11
| =(e 2 d 21 { d 23 })@d 22
} =(e 3 d 31 { d 32 |)@d 33
À la première itération, on calcule à partir du vecteur initial
{ 0 =({
(0) >|
(0) >}
(0) )
la valeur {
(1)
{
(1) =(e 1 d 12 |
(0) d 13 }
(0) )@d 11
Cette valeur est réintroduite immédiatement dans le calcul de la deuxième
composante (ce qui diérencie cette méthode de la méthode de Jacobi, car
on utilise ici la valeur {
(1)
et non {
(0)
)
|
(1) =(e 2 d 21 {
(1) d 23 }
(0) )@d 22