5. Systèmes linéaires
113
d’où la matrice K 1
K 1 =
1
s
3
3
E
C
11
1
1
2+
s
3
1+
s
3
1
1+
s
3
1
1
1+
s
3
2+
s
3
1+
s
3
4
F
D
et la matrice K 1 D
K 1 D =
1
s
3
3
E
C
3 11
02
2
1+
s
3
02
2(2+
s
3)
1+
s
3
4
F
D
si n =2> les valeurs
=
s
2
2 =2
s
2(1 +
s
2)
x =(0> (1 +
s
2)@> 1@)
conduisent à la matrice K 2
K 2 =
1
s
2
3
C
10
0
0 1 1
0 11
4
D
La matrice K 2 K 1 D est triangulaire supérieure
K 2 K 1 D =
1
s
6
3
C
3 11
0 4 2
002
s
3
4
D
5.3 Méthodes itératives
Dans les méthodes itératives, le système D{ = e est mis sous la forme
P{ = Q{ + e. Lorsque la matrice P est inversible, { = P
1 Q{+ P
1 e.
Remarquer que cette équation est une équation de la forme { = i ({).P a r
conséquent, les méthodes itératives sont des méthodes de point fixe. La
détermination du point fixe repose sur l’itération de l’équation
{ n+1 = P
1 Q{ n + P
1 e
en notant { n le vecteur de composantes { n =( {
(n)
1 >{
(n)
2 > ===> {
(n)
q ). L’algorithme est initialisé par un vecteur arbitraire { 0 =( {
(0)
1 >{
(0)
2 > ===> {
(0)
q ) et
s’arrête quand ;l 5 N,
¯
¯
¯{
(n)
l
{
(n1)
l
¯
¯
¯ ?%pour un % donné. Lorsque la
suite { n converge, i.e. lim
n$4
{ n = {> on dit que la méthode converge. On