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Méthodes directes
où {={
désigne le produit scalaire de { par {
= {
w = Les matrices de
Householder sont hermitiennes, unitaires, conservent la 2-norme et réalisent
une symétrie par rapport à l’hyperplan passant par S et orthogonal à {.
Dans le cas réel, les matrices de Householder sont de la forme
K({)=L
2
{ w ={
{={
w = L
2
k{k
2
2
3
E
E
E
C
{
2
1
{ 1 { 2 === { 1 { q
{ 2 { 1
{
2
2
=== { 2 { q
. . .
{ q { 1 { q { 2 ===
{
2
q
4
F
F
F
D
Les matrices de Householder K sont orthogonales et symétriques, d’où
K
1 = K. L’algorithme de la méthode de Householder est le suivant : À la
n-ième étape, pour n =1> 2> ===> q 1, on construit un vecteur d orthonormé
kdk =
à q
X
l=n
d ln d ln
! 1@2
Si kdk =0ou si |d nn | =0> on passe à la valeur suivante de n> sinononpose
= kdk
d nn
|d nn |
si d nn 6 =0
= kdk
si d nn =0
Le calcul des quantités
=
p
2 kdk (kdk + |d nn |)
x l =0
si l =1> ===> n 1
x n =(d nn )@
x l = d ln @
si l = n +1> ===> q
conduit à la matrice de Householder
K n = L 2x
w x
et à la forme triangulaire du système D{ = e
K q1 =====K 2 K 1 D{ = K q1 =====K 2 K 1 e
Exemple.S o i tD la matrice
D =
3
C
11
1
1 11
1 1 1
4
D
Si n =1> on a
=
s
3
2 =2
s
3(1 +
s
3)
x = ((1 +
s
3)@> 1@> 1@)