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INTÉGRATION
chap. VII, 3 3
b) Soit El le sous-espace ouvert de E formé des droites orientées
non orthogonales à e, ; une telle droite orientée peut être déterminée
par les coordonnées t', q' de son point d'intersection avec Re, $ Re,,
e t par les coordonnées (sin cp sin 0, - cos cp sin 0, cos 0) d'un vecteur
directeur. Montrer qu'une mesure sur El invariante par D est donnée
Par
sin 8 lcos 81 dErdqrd~dO.
11) Soient G le groupe compact O(n, R), h la mesure de Haar
normalisée sur G. Pour O < k < n, soit H le sous-groupe fermé de G laissant (globalement) invariant le sous-espace Rk de Rn ; l'espace homoghe
G/H, muni de sa topologie quotient, s'identifie canoniquement à la
grassmannienne E = Gn-,, ,-,(R) (Top. gén., chap. VI, 3 3, no 6) des
sous-espaces vectoriels de Rn de dimension k. Il y a sur E une mesure p
invariante par G, déterminée à une constante près. Pour tout sousespace P E E, soit op l'image de la mesure de Lebesgue de Rk par un
s E G tel que s.Rk = P (indépendante de l'élément s E G vérifiant cette
relation). Montrer que l'on peut choisir p de façon que la propriété
suivante soit vérifiée: pour toute fonction continue f dans Rn, à support compact, et tout P E E, on pose F(P) = f(x)do(x). Alors
1,
SE F(P)dp(P) = J' ." llxlP-"f@)dxi
(Si Po = 8': noter que l'on peut écrire (' F(P)dp(P) = c (' F(s. Po)dh(r)
J E
J G
pour une constante c convenable, et d'autre part,
avec les notations de l'exercice 8 ; utiliser enfin lJexerc. 8 b)).
7 12) Soient K un corps commutatif, E un K-espace vectoriel,
F un sous-espace vectoriel de E, p l'homomorphisme canonique de E
sur E/F, A l'ensemble des homomorphismes f : E / F -. E tels que p O f
soit l'homomorphisme identique de E/F.
a) Si f E A et h E Hom (E/F, F), on a f + h E A. Montrer que, si
f, f' E A, il existe un h E Hom(E/F, F) et un seul tel que f + h = f'.
On peut donc considérer A comme un espace affine dont Hom(E/F, F)
est l'espace des translations.
b) Soit B l'ensemble des sous-espaces vectoriels de E supplémentaires de F dans E. Montrer que f - f(E/F) est une bijection de A sur
B. On peut donc considérer B comme un espace affine dont Hom (E/F, F)
est l'espace des translations.
c) Montrer que, si u est un automorphisme de E tel que u(F) = F,
l'application f - u O f est une bijection aff~ne de A sur A. (Choisir une
origine dans A, et observer que l'application h - u O h est un automorphisme de l'espace vectoriel Hom(E/F,F)). En déduire que l'application F r -. u(Ft) est une bijection affine de B sur B.
INTÉGRATION
chap. VII, 3 3
b) Soit El le sous-espace ouvert de E formé des droites orientées
non orthogonales à e, ; une telle droite orientée peut être déterminée
par les coordonnées t', q' de son point d'intersection avec Re, $ Re,,
e t par les coordonnées (sin cp sin 0, - cos cp sin 0, cos 0) d'un vecteur
directeur. Montrer qu'une mesure sur El invariante par D est donnée
Par
sin 8 lcos 81 dErdqrd~dO.
11) Soient G le groupe compact O(n, R), h la mesure de Haar
normalisée sur G. Pour O < k < n, soit H le sous-groupe fermé de G laissant (globalement) invariant le sous-espace Rk de Rn ; l'espace homoghe
G/H, muni de sa topologie quotient, s'identifie canoniquement à la
grassmannienne E = Gn-,, ,-,(R) (Top. gén., chap. VI, 3 3, no 6) des
sous-espaces vectoriels de Rn de dimension k. Il y a sur E une mesure p
invariante par G, déterminée à une constante près. Pour tout sousespace P E E, soit op l'image de la mesure de Lebesgue de Rk par un
s E G tel que s.Rk = P (indépendante de l'élément s E G vérifiant cette
relation). Montrer que l'on peut choisir p de façon que la propriété
suivante soit vérifiée: pour toute fonction continue f dans Rn, à support compact, et tout P E E, on pose F(P) = f(x)do(x). Alors
1,
SE F(P)dp(P) = J' ." llxlP-"f@)dxi
(Si Po = 8': noter que l'on peut écrire (' F(P)dp(P) = c (' F(s. Po)dh(r)
J E
J G
pour une constante c convenable, et d'autre part,
avec les notations de l'exercice 8 ; utiliser enfin lJexerc. 8 b)).
7 12) Soient K un corps commutatif, E un K-espace vectoriel,
F un sous-espace vectoriel de E, p l'homomorphisme canonique de E
sur E/F, A l'ensemble des homomorphismes f : E / F -. E tels que p O f
soit l'homomorphisme identique de E/F.
a) Si f E A et h E Hom (E/F, F), on a f + h E A. Montrer que, si
f, f' E A, il existe un h E Hom(E/F, F) et un seul tel que f + h = f'.
On peut donc considérer A comme un espace affine dont Hom(E/F, F)
est l'espace des translations.
b) Soit B l'ensemble des sous-espaces vectoriels de E supplémentaires de F dans E. Montrer que f - f(E/F) est une bijection de A sur
B. On peut donc considérer B comme un espace affine dont Hom (E/F, F)
est l'espace des translations.
c) Montrer que, si u est un automorphisme de E tel que u(F) = F,
l'application f - u O f est une bijection aff~ne de A sur A. (Choisir une
origine dans A, et observer que l'application h - u O h est un automorphisme de l'espace vectoriel Hom(E/F,F)). En déduire que l'application F r -. u(Ft) est une bijection affine de B sur B.