Chapitre 3 – Circuits linéaires soumis à un échelon de tension
e) Même question pour R, L, i 2 ,
di 2
dt
et
di
dt
.
f) Déterminer la relation entre
dE
dt
, R, L, s, i 2 et
ds
dt
.
g) Établir la relation entre R, L, s,
ds
dt
,
d
2 s
dt 2 ,
dE
dt
et
d
2 E
dt 2 .
h) En déduire l’équation différentielle vérifiée par s sachant que le générateur de tension est
idéal de tension à vide E.
i) En déduire l’expression de s(t) en ne cherchant pas à déterminer les constantes d’intégration.
j) Donner une relation entre les deux constantes d’intégration.
6.
Circuit alimenté par un hacheur
R
L
C
K
E
i
1
2
V c
Figure 3.23
Un hacheur est un système électronique
qui permet d’obtenir une tension continue réglable à partir d’une alimentation constante E. Dans le cas présent le
hacheur est modélisé par un interrupteur
K (figure 3.23) qui peut basculer entre la
position (1) et la position (2). Le condensateur est supposé de capacité C suffisamment grande pour que la tension V c puisse être considérée constante.
L’interrupteur K a les postions suivantes :
• K est en (1) pour 0 < t < aT ;
• K est en (2) pour aT < t < T .
a est un nombre positif inférieur à 1 et T la période du hacheur.
1. a) Dans un premier temps, K est position (1). Établir l’équation différentielle reliant l’intensité i (figure 3.23) à E, V c et L.
b) On note I m l’intensité à t = 0. Déterminer l’expression de i(t) en fonction des données.
c) Déterminer l’expression de i(aT ), on note I M cette valeur.
2. a) À l’instant t = aT , l’interrupteur bascule en position (2). Établir la nouvelle équation
différentielle à laquelle obéit i.
b) Déterminer l’expression de i(t) pour aT t T en fonction de a, T , E, V c , et I m .
c) L’intensité i est périodique en régime établi, et donc i(T ) = i(0) = I m . Calculer V c en
fonction de E et a.
3. On rappelle que la valeur moyenne d’une grandeur s(t) est < s >=
1
T
T
0
s(t) dt.
a) Montrer que la valeur moyenne de l’intensité dans C est nulle. Calculer la valeur moyenne
de i et en déduire l’expression de I M + I m en fonction de E, a et R.
b) Déterminer I m puis I M en fonction de a, E, R, L et T .
4. Quelle valeur maximale peut prendre R pour que I m soit positif ?
82
e) Même question pour R, L, i 2 ,
di 2
dt
et
di
dt
.
f) Déterminer la relation entre
dE
dt
, R, L, s, i 2 et
ds
dt
.
g) Établir la relation entre R, L, s,
ds
dt
,
d
2 s
dt 2 ,
dE
dt
et
d
2 E
dt 2 .
h) En déduire l’équation différentielle vérifiée par s sachant que le générateur de tension est
idéal de tension à vide E.
i) En déduire l’expression de s(t) en ne cherchant pas à déterminer les constantes d’intégration.
j) Donner une relation entre les deux constantes d’intégration.
6.
Circuit alimenté par un hacheur
R
L
C
K
E
i
1
2
V c
Figure 3.23
Un hacheur est un système électronique
qui permet d’obtenir une tension continue réglable à partir d’une alimentation constante E. Dans le cas présent le
hacheur est modélisé par un interrupteur
K (figure 3.23) qui peut basculer entre la
position (1) et la position (2). Le condensateur est supposé de capacité C suffisamment grande pour que la tension V c puisse être considérée constante.
L’interrupteur K a les postions suivantes :
• K est en (1) pour 0 < t < aT ;
• K est en (2) pour aT < t < T .
a est un nombre positif inférieur à 1 et T la période du hacheur.
1. a) Dans un premier temps, K est position (1). Établir l’équation différentielle reliant l’intensité i (figure 3.23) à E, V c et L.
b) On note I m l’intensité à t = 0. Déterminer l’expression de i(t) en fonction des données.
c) Déterminer l’expression de i(aT ), on note I M cette valeur.
2. a) À l’instant t = aT , l’interrupteur bascule en position (2). Établir la nouvelle équation
différentielle à laquelle obéit i.
b) Déterminer l’expression de i(t) pour aT t T en fonction de a, T , E, V c , et I m .
c) L’intensité i est périodique en régime établi, et donc i(T ) = i(0) = I m . Calculer V c en
fonction de E et a.
3. On rappelle que la valeur moyenne d’une grandeur s(t) est < s >=
1
T
T
0
s(t) dt.
a) Montrer que la valeur moyenne de l’intensité dans C est nulle. Calculer la valeur moyenne
de i et en déduire l’expression de I M + I m en fonction de E, a et R.
b) Déterminer I m puis I M en fonction de a, E, R, L et T .
4. Quelle valeur maximale peut prendre R pour que I m soit positif ?
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