© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Décomposition harmonique d’un signal
• en tout point où elle est continue comme une somme de termes sinusoïdaux :
f (t) =
a 0
2
+
+∞
n=1
a n cos (nvt) + b n sin (nvt)
avec
v =
2p
T
• en un point où elle est discontinue :
f (t
+ ) − f (t − )
2
=
a 0
2
+
+∞
n=1
a n cos (nvt) + b n sin (nvt)
Exemples de décompositions en séries de Fourier
a) Signal créneau
A
B
f (t)
T
2 T
t
Figure 19.4 Signal créneau.
a n
n =
v
v0
1 3 5 7 9 11
Figure 19.5 Spectre d’un créneau.
On adopte les notations suivantes pour le signal
créneau :
f (t) =
A
si 0 < t <
T
2
B
si
T
2 < t < T
L’expression du développement en séries de
Fourier de f (t) est :
f (t) =
A + B
2
+
2 (A − B)
p
+∞
p=0
sin ((2p + 1) vt)
2p + 1
Si on ne prend que les premiers termes du développement, on obtient les sommes partielles
qui ne donnent qu’une approximation de la fonction. Au fur et à mesure que le nombre de
termes pris en compte augmente, la précision s’améliore. Par exemple, sur les figures suivantes,
on a représenté les sommes partielles avec successivement 1, 3, 5, 7, 10, 25, 50 et 100 termes.
t
15
10
5
−5
−10
−15
1
0,5
0
−0,5
−1
t
15
10
5
−5
−10
−15
1
0,5
0
−0,5
−1
t
15
10
5
−5
−10
−15
1
0,5
0
−0,5
−1
t
15
10
5
−5
−10
−15
1
0,5
0
−0,5
−1
15
10
5
-5
-10
-15
1
0.5
0
-0.5
-1
t
15
10
5
−5
−10
−15
1
0
0,5
−0,5
−1
t
15
10
5
−5
−10
−15
1
0,5
0
−0,5
−1
t
15
10
5
−5
−10
−15
1
0,5
0
−0,5
−1
Figure 19.6 Sommes partielles d’ordre 1, 3, 5, 7, 10, 25, 50 et 100 d’un créneau.
451