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Décomposition harmonique d’un signal
On constate sur cet exemple simple qu’il est parfois plus facile de caractériser un signal
par sa représentation fréquentielle que par sa représentation temporelle. Sur le spectre,
il est aisé ici de voir quelles sont les fréquences présentes ainsi que leur importance
relative via les amplitudes correspondantes. Sur la représentation temporelle, cette
analyse est plus délicate et devient impossible dès lors que les fréquences constituant
le signal sont en plus grand nombre.
D’autre part, l’allure temporelle n’est plus celle d’une sinusoïde bien que le signal reste
périodique. Cette évolution conduit à considérer des signaux qui sont des sommes
de sinusoïdes et en particulier le cas où les fréquences sont des multiples d’une fréquence f 0 .
c) Sommes de sinusoïdes et signaux périodiques
Soit un ensemble de fonctions sinusoïdales dont les fréquences sont des multiples
d’une fréquence donnée f 0 .
La somme de ces fonctions pondérées par un choix judicieux de coefficients (qui sera
précisé dans la suite de ce chapitre) permet de synthétiser des signaux périodiques
simples ne ressemblant pas à une sinusoïde. La fréquence de ces signaux est la fréquence f 0 dont sont multiples toutes les fréquences des sinusoïdes utilisées.
Par exemple, on peut obtenir une dent de scie comme le montrent les figures 19.3.
Les figures C1 à C10 donnent les sinusoïdes pondérées et les figures Sj, pour j variant
de 1 à 10, la somme des contributions sinusoïdales des figures C1 à Cj. On constate
qu’une dizaine de sinusoïdes permet d’obtenir de façon assez bonne une dent de scie.
Il s’agit d’un résultat général qu’on va expliciter grâce aux séries de Fourier.
1.2 Fonction périodique et série de Fourier
Soit f (t) une fonction périodique de IR dans IR, de période T, de classe C
1 par
morceaux
1 . En notant a n et b n les coefficients de Fourier
2 , le théorème de Fourier
(qui sera vu dans le cours de mathématiques) permet alors d’écrire cette fonction :
1 On rappelle qu’une fonction est de classe C
1 si elle est dérivable et que sa dérivée est continue.
2 Les coefficients an et bn sont définis par les relations :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
an =
2
T
t 0 +T
t 0
f (t) cos (nvt) dt
bn =
2
T
t 0 +T
t 0
f (t) sin (nvt) dt
449
Décomposition harmonique d’un signal
On constate sur cet exemple simple qu’il est parfois plus facile de caractériser un signal
par sa représentation fréquentielle que par sa représentation temporelle. Sur le spectre,
il est aisé ici de voir quelles sont les fréquences présentes ainsi que leur importance
relative via les amplitudes correspondantes. Sur la représentation temporelle, cette
analyse est plus délicate et devient impossible dès lors que les fréquences constituant
le signal sont en plus grand nombre.
D’autre part, l’allure temporelle n’est plus celle d’une sinusoïde bien que le signal reste
périodique. Cette évolution conduit à considérer des signaux qui sont des sommes
de sinusoïdes et en particulier le cas où les fréquences sont des multiples d’une fréquence f 0 .
c) Sommes de sinusoïdes et signaux périodiques
Soit un ensemble de fonctions sinusoïdales dont les fréquences sont des multiples
d’une fréquence donnée f 0 .
La somme de ces fonctions pondérées par un choix judicieux de coefficients (qui sera
précisé dans la suite de ce chapitre) permet de synthétiser des signaux périodiques
simples ne ressemblant pas à une sinusoïde. La fréquence de ces signaux est la fréquence f 0 dont sont multiples toutes les fréquences des sinusoïdes utilisées.
Par exemple, on peut obtenir une dent de scie comme le montrent les figures 19.3.
Les figures C1 à C10 donnent les sinusoïdes pondérées et les figures Sj, pour j variant
de 1 à 10, la somme des contributions sinusoïdales des figures C1 à Cj. On constate
qu’une dizaine de sinusoïdes permet d’obtenir de façon assez bonne une dent de scie.
Il s’agit d’un résultat général qu’on va expliciter grâce aux séries de Fourier.
1.2 Fonction périodique et série de Fourier
Soit f (t) une fonction périodique de IR dans IR, de période T, de classe C
1 par
morceaux
1 . En notant a n et b n les coefficients de Fourier
2 , le théorème de Fourier
(qui sera vu dans le cours de mathématiques) permet alors d’écrire cette fonction :
1 On rappelle qu’une fonction est de classe C
1 si elle est dérivable et que sa dérivée est continue.
2 Les coefficients an et bn sont définis par les relations :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
an =
2
T
t 0 +T
t 0
f (t) cos (nvt) dt
bn =
2
T
t 0 +T
t 0
f (t) sin (nvt) dt
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