Fiche 75 • Interférences à deux ondes
c La source S émet une onde sphérique. En utilisant le principe d’Huygens, les deux trous
émettent également deux ondes sphériques. S étant sur la médiatrice de S 1 S 2 , SS 1 = SS 2
⇒ les deux trous S 1 et S 2 sont sur la même surface d’onde et ont donc la même phase.
Les deux sources secondaires S 1 et S 2 sont synchrones.
Ce dispositif est à division de front d’onde. Le champ d’interférence est l’espace Z > 0.
c Les trous étant identiques, l’amplitude des deux ondes émises par S 1 et S 2 est la même a 0 .
L’amplitude complexe en M de l’onde issue de S 1 est :
où
L’amplitude complexe en M de l’onde issue de S 2 est :
où
k étant le vecteur d’onde :
.
Les ondes étant cohérentes, l’amplitude complexe en M est la somme des amplitudes
complexes :
.
L’intensité lumineuse en M est :
⇒ en posant
,
.
Le déphasage au point M est :
= L(S 1 M) – L (S 2 M) où L(AB) est le chemin
optique entre deux points A et B.
Comme n = 1, δ = S 1 M – S 2 M.
La différence de marche est géométrique.
c Plaçons-nous dans le repère (Oxyz) : M (x ,y ,0), S 1 (
) et S 2 (
).
⇒
et
Effectuons un développement limité en fonction de x, y et a qui sont petits par rapport à D :
; de même,
⇒
.
La différence de marche ne dépend que de x.
c L’intensité au point M devient :
.
–L ’intensité ne dépendant que de x, les surfaces d’égale intensité correspondent à x = c ste dans
la zone étudiée. Par suite, des franges rectilignes parallèles à y sont observées sur l’écran.
a
a
1
0
1
M
j
( ) =
−
e
kr
r 1 =SM 1
aa 2
0
2
M
j
( ) =
−
e
kr
r 2 =SM 2
k
n
=
2
0
π
λ
aa
aa
a
MMM
jj
( ) = ( ) + ( ) =+
−−
1
200
12
ee
kr
kr
Ie
ee
e
kr
kr
kr
MM
M
jj
jj
( ) = ( ) ( ) =+ (
) ×+
−−
aa
aa
aa
*
00
00
12
1
k k r 2
(
)
I 00
2
= aII
kr r
M
() =+
−
(
)
(
)
[
]
41 01 2
cos
Δϕ
π
δ
λ
δ
M
() =− (
) =⇔ =− (
)
kr rn rr
12
0
12
2
−− aD ,, 0
aD ,, 0−
rx ay
D
1
2
22
12
==
+
(
) ++
⎡
⎣
⎤
⎦
SM 1
rx ay
D
2
2
22
12
==
−
(
) ++
⎡
⎣
⎤
⎦
SM 2
rD
xa
y
D
D
xa
y
D
1
2
2
2
12
2
2
2
11
2
=+
+
(
) +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
+
+
(
) +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤ ⎤
⎦
⎥
⎥
rD
xa
y
D
2
2
2
2
1
2
+
−
(
) +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
δ= −+ (
) −− (
)
⎡
⎣
⎤
⎦
rr
D
xa
xa
ax
D
12
22
1
2
2
II
ax
D
M
() =+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
21
2
2
0
0
cos π λ
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c La source S émet une onde sphérique. En utilisant le principe d’Huygens, les deux trous
émettent également deux ondes sphériques. S étant sur la médiatrice de S 1 S 2 , SS 1 = SS 2
⇒ les deux trous S 1 et S 2 sont sur la même surface d’onde et ont donc la même phase.
Les deux sources secondaires S 1 et S 2 sont synchrones.
Ce dispositif est à division de front d’onde. Le champ d’interférence est l’espace Z > 0.
c Les trous étant identiques, l’amplitude des deux ondes émises par S 1 et S 2 est la même a 0 .
L’amplitude complexe en M de l’onde issue de S 1 est :
où
L’amplitude complexe en M de l’onde issue de S 2 est :
où
k étant le vecteur d’onde :
.
Les ondes étant cohérentes, l’amplitude complexe en M est la somme des amplitudes
complexes :
.
L’intensité lumineuse en M est :
⇒ en posant
,
.
Le déphasage au point M est :
= L(S 1 M) – L (S 2 M) où L(AB) est le chemin
optique entre deux points A et B.
Comme n = 1, δ = S 1 M – S 2 M.
La différence de marche est géométrique.
c Plaçons-nous dans le repère (Oxyz) : M (x ,y ,0), S 1 (
) et S 2 (
).
⇒
et
Effectuons un développement limité en fonction de x, y et a qui sont petits par rapport à D :
; de même,
⇒
.
La différence de marche ne dépend que de x.
c L’intensité au point M devient :
.
–L ’intensité ne dépendant que de x, les surfaces d’égale intensité correspondent à x = c ste dans
la zone étudiée. Par suite, des franges rectilignes parallèles à y sont observées sur l’écran.
a
a
1
0
1
M
j
( ) =
−
e
kr
r 1 =SM 1
aa 2
0
2
M
j
( ) =
−
e
kr
r 2 =SM 2
k
n
=
2
0
π
λ
aa
aa
a
MMM
jj
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1
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kr
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Ie
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kr
kr
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MM
M
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) ×+
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aa
aa
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*
00
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12
1
k k r 2
(
)
I 00
2
= aII
kr r
M
() =+
−
(
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)
[
]
41 01 2
cos
Δϕ
π
δ
λ
δ
M
() =− (
) =⇔ =− (
)
kr rn rr
12
0
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2
−− aD ,, 0
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D
1
2
22
12
==
+
(
) ++
⎡
⎣
⎤
⎦
SM 1
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2
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⎡
⎣
⎤
⎦
SM 2
rD
xa
y
D
D
xa
y
D
1
2
2
2
12
2
2
2
11
2
=+
+
(
) +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
+
+
(
) +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤ ⎤
⎦
⎥
⎥
rD
xa
y
D
2
2
2
2
1
2
+
−
(
) +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
δ= −+ (
) −− (
)
⎡
⎣
⎤
⎦
rr
D
xa
xa
ax
D
12
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1
2
2
II
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D
M
() =+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
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2
2
0
0
cos π λ
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