Fiche 3 • Des exemples de forces
e) Force de liaison
3. EN PRATIQUE…
Montrons que jusqu'à une altitude d’environ h = 32 km par rapport à la surface de Terre, la
force gravitationnelle entre la Terre et un objet M de masse m, assimilable à un point matériel, peut être assimilée au poids de l’objet.
Lorsque le point matériel M de masse m se situe à une altitude h par rapport à la surface de la
terre, la norme de est donnée par :
On peut également écrire :
en posant
Le rayon de la Terre étant R 6 400 km,
(pour h = 32 km, alors
), on
a alors :
.
Pour écrire l’expression de
, nous avons utilisé le développement limité de
en 0 au
premier ordre
.
Donc :
.
La variation relative de
, notée
, entre la surface de la terre (h = 0) et l’altitude h,
s’écrit alors :
.
On constate que la variation de
est inférieure à 1 % tant que h < 32 km. Ainsi, pour des
objets situés à une altitude inférieure à 32 km de la surface de la Terre, la force gravitationnelle peut être assimilée au poids de l’objet.
Pour décrire le mouvement d’un point matériel libre de toute contrainte
dans l’espace à trois dimensions, il faut 6 paramètres (position et vitesse),
on dit alors que le point matériel a 6 degrés de liberté (ddl) (3 translations
+ 3 rotations). Un point matériel est soumis à des liaisons si sa position
(et/ou) sa vitesse sont astreintes à satisfaire une contrainte physique. Les
liaisons diminuent alors le nombre de degrés de liberté du point matériel.
Prenons l’exemple d’un point matériel M de masse m au bout d’un
fil infiniment mince (épaisseur négligeable) inextensible (Pendule).
Le fil impose au point matériel M, une force de liaison, notée , et
l’astreint dans son déplacement (3 rotations possibles et aucune
translation). Cette force est portée par le fil tant qu’il est tendu, elle
est appelée tension du fil. L’expression de la tension du fil peut être
déterminée à partir de la deuxième loi de Newton.
F T
fil
M
P
T
F
g
g
Rh
=
+
( )
G
M
2
g
R
h
R
g
h
R
=
+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
=+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
G
22
0
2
1
1
M
1
g
R
0 =
G M
2
≈
h
R
1
h
R
= 00 05 1
,
gg
h
R
=−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
0
12
g
1 +
( )
ε
n
⇒+ ( ) ≈+
→
DL en 0:
n
0
n
ε
ε
ε
11
DL en 0:
0
2
h
R
h
R
h
R
→
+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =−
11 2
–
g
Δ g
g 0
Δ g
g
h
R
0
2
00 1
== ,
g
11
e) Force de liaison
3. EN PRATIQUE…
Montrons que jusqu'à une altitude d’environ h = 32 km par rapport à la surface de Terre, la
force gravitationnelle entre la Terre et un objet M de masse m, assimilable à un point matériel, peut être assimilée au poids de l’objet.
Lorsque le point matériel M de masse m se situe à une altitude h par rapport à la surface de la
terre, la norme de est donnée par :
On peut également écrire :
en posant
Le rayon de la Terre étant R 6 400 km,
(pour h = 32 km, alors
), on
a alors :
.
Pour écrire l’expression de
, nous avons utilisé le développement limité de
en 0 au
premier ordre
.
Donc :
.
La variation relative de
, notée
, entre la surface de la terre (h = 0) et l’altitude h,
s’écrit alors :
.
On constate que la variation de
est inférieure à 1 % tant que h < 32 km. Ainsi, pour des
objets situés à une altitude inférieure à 32 km de la surface de la Terre, la force gravitationnelle peut être assimilée au poids de l’objet.
Pour décrire le mouvement d’un point matériel libre de toute contrainte
dans l’espace à trois dimensions, il faut 6 paramètres (position et vitesse),
on dit alors que le point matériel a 6 degrés de liberté (ddl) (3 translations
+ 3 rotations). Un point matériel est soumis à des liaisons si sa position
(et/ou) sa vitesse sont astreintes à satisfaire une contrainte physique. Les
liaisons diminuent alors le nombre de degrés de liberté du point matériel.
Prenons l’exemple d’un point matériel M de masse m au bout d’un
fil infiniment mince (épaisseur négligeable) inextensible (Pendule).
Le fil impose au point matériel M, une force de liaison, notée , et
l’astreint dans son déplacement (3 rotations possibles et aucune
translation). Cette force est portée par le fil tant qu’il est tendu, elle
est appelée tension du fil. L’expression de la tension du fil peut être
déterminée à partir de la deuxième loi de Newton.
F T
fil
M
P
T
F
g
g
Rh
=
+
( )
G
M
2
g
R
h
R
g
h
R
=
+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
=+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
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G
22
0
2
1
1
M
1
g
R
0 =
G M
2
≈
h
R
1
h
R
= 00 05 1
,
gg
h
R
=−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
0
12
g
1 +
( )
ε
n
⇒+ ( ) ≈+
→
DL en 0:
n
0
n
ε
ε
ε
11
DL en 0:
0
2
h
R
h
R
h
R
→
+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =−
11 2
–
g
Δ g
g 0
Δ g
g
h
R
0
2
00 1
== ,
g
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