Fiche 38 • Régimes libres du deuxième ordre
Traçons l’énergie magnétique E mag , l’énergie électrique E él et l’énergie totale E tot = E él + E mag .
Cette équation est du second ordre à coefficients constants avec second membre constant.
Pour résoudre une telle équation, il faut :
–r ésoudre l’équation homogène sans second membre : u C1 (t)
–t rouver une solution particulière u C2 (t) de l’équation avec second membre
La solution de l’équation de l’équation avec second membre est :
.
Cherchons la solution particulière de la même forme que l’excitation, c’est-à-dire constante :
u C2 (t) = U ⇒
.
Trois régimes sont observés suivant l’expression de u C1 (t). Les constantes A et B sont obtenues grâce aux conditions initiales.
Par exemple, en régime apériodique, la solution s’écrit :
.
Les constantes A et B vérifient :
Dans les régimes critique et pseudo-périodique,
.
L’énergie totale est échangée entre le condensateur
et l’inductance. La pseudopériode de ces échanges est
la moitié de la pseudopériode de la tension u C (t).
Ri 2 est la puissance dissipée
par effet joule dans la résistance. L’amortissement de
l’énergie totale est dû à la
dissipation dans la résistance R.
• Étudions la charge du condensateur de capacité C à travers
une bobine d’inductance L et une résistance R à l’aide d’un
générateur de tension continue de fem E (schéma ci-contre).
Le circuit est fermé à t = 0.
L’équation différentielle vérifiée par u C (t) est :
avec
car à t = 0, le condensateur est déchargé et aucun courant ne
circule dans le circuit.
t
E
00 ,5
11 ,5
(J)
(ms)
Etot
Eél
Emag
q0
2C
2
LC
d
d
R
L
d
d
2
2
u
t
u
t
uE
CC
C
++
=
u
u
C
C
d
d
()
()
00
00
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩ ⎪ t
L
R
u L
u R
u C
E
i
ut utut
CC
C
( ) = ( ) +
( )
12
LC
d
d
R
L
d
d
2
2
U
t
U
t
UE
UE
++ =⇔=
ut
A
rt B
rt E
C ()=++ ee 12
uA BE
u
Ar Br E
C
C
d
d
()
()
00
0
00
0
12
=⇔++=
=⇔
++ =
⎧
t
⎨ ⎨
⎪
⎩ ⎪
λ=
R
2L
128