Fiche 2 • Cinématique du point matériel
* Vitesse en coordonnées intrinsèques
Le long de la trajectoire (C) le point M est repéré par son abscisse curviligne, notée
, qui
correspond à la longueur de l’arc de courbe orienté
. (le point
étant un point
arbitrairement choisi sur (C) comme origine de l’espace de référence). La longueur de l’arc
est égale au produit du rayon de courbure R de la trajectoire de centre C par l’angle
orienté
, soit :
.
La vitesse du point M en coordonnées intrinsèques, par rapport au référentiel (R 0 ), s’écrit
alors :
* Accélération en coordonnées intrinsèques
La dérivée par rapport au temps de est donc :
. On peut alors écrire :
or
et
sont respectivement l’accélération tangentielle et l’accélération normale et
la norme du vecteur vitesse
.
Pour certaines trajectoires (curvilignes par exemple), afin de
connaître la vitesse du point M par rapport au référentiel (R 0 ),
il est intéressant de lui affecter une base mobile, dite base de
Frenet. Celle-ci est composée d’un vecteur tangent à la trajectoire (C) noté (dirigé dans le sens de la direction du déplacement du point M au cours du temps) et d’un vecteur normal
à la trajectoire noté (dirigé suivant le rayon de courbure de
la trajectoire et orienté vers l’intérieur de la courbure).
Lorsque le point M est repéré à partir de son abscisse curviligne
, l’accélération du point M dans la base de Frenet par
rapport au référentiel (R 0 ) s’écrit :
Sur une portion de trajectoire (C) suffisamment petite, la trajectoire du point M peut être assimilée à un cercle de centre
C et de rayon de courbure R ( cercle osculateur).
Le vecteur , lié au point M est alors en rotation autour de
l’axe fixe
(axe normal au plan de la trajectoire, passant
par C et dirigé tel que
soit une base orthonormée directe) avec une vitesse
angulaire
.
(C)
M
O0
0
M/R
V
R
α
τ
η
C
(t)
τ
η
s t
()
OM 0
()
=s t
O 0
OM 0
CO , CM
0
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ = ()
α t
s
R t
== OM 0
α ()
V
s
t
s
t
M/R
R
0
=
d
d
0
()
ττ =
k
( C )
M
O 0
R
α
C
τ
η
a
η
a
τ
(t)
s t
()
a
s
t
s
t
s
t
s
t
M/R
2
R
R
R
0
0
0
0
=
d
d
d
d
d
d
2
()
=
( ) =+
τ
τ
d d
d R 0
τ
t
τ
O
k
τη , , k
(
)
ω ()
()
t
t
t
kk
=
d
d
α
α
=
τ
d
d
τ
ωτη
t
t
()
=∧ =α
a
s
t
ss
t
M/R
2
R
0
0
=
d
d
2 () =+ τη α
Vs
sR tt
M/R 0
= τ
()
()
=
⎧
⎨
⎪
⎩ ⎪
α
⇒+
+
as
s R
V
t
V
a
M/R
M/R
M/
0
0
==
d
d
τ
η
τ
τ
2
R R 0
( )
2
R
a η
η
a τ
a η
V M/R 0
V M/R 0
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* Vitesse en coordonnées intrinsèques
Le long de la trajectoire (C) le point M est repéré par son abscisse curviligne, notée
, qui
correspond à la longueur de l’arc de courbe orienté
. (le point
étant un point
arbitrairement choisi sur (C) comme origine de l’espace de référence). La longueur de l’arc
est égale au produit du rayon de courbure R de la trajectoire de centre C par l’angle
orienté
, soit :
.
La vitesse du point M en coordonnées intrinsèques, par rapport au référentiel (R 0 ), s’écrit
alors :
* Accélération en coordonnées intrinsèques
La dérivée par rapport au temps de est donc :
. On peut alors écrire :
or
et
sont respectivement l’accélération tangentielle et l’accélération normale et
la norme du vecteur vitesse
.
Pour certaines trajectoires (curvilignes par exemple), afin de
connaître la vitesse du point M par rapport au référentiel (R 0 ),
il est intéressant de lui affecter une base mobile, dite base de
Frenet. Celle-ci est composée d’un vecteur tangent à la trajectoire (C) noté (dirigé dans le sens de la direction du déplacement du point M au cours du temps) et d’un vecteur normal
à la trajectoire noté (dirigé suivant le rayon de courbure de
la trajectoire et orienté vers l’intérieur de la courbure).
Lorsque le point M est repéré à partir de son abscisse curviligne
, l’accélération du point M dans la base de Frenet par
rapport au référentiel (R 0 ) s’écrit :
Sur une portion de trajectoire (C) suffisamment petite, la trajectoire du point M peut être assimilée à un cercle de centre
C et de rayon de courbure R ( cercle osculateur).
Le vecteur , lié au point M est alors en rotation autour de
l’axe fixe
(axe normal au plan de la trajectoire, passant
par C et dirigé tel que
soit une base orthonormée directe) avec une vitesse
angulaire
.
(C)
M
O0
0
M/R
V
R
α
τ
η
C
(t)
τ
η
s t
()
OM 0
()
=s t
O 0
OM 0
CO , CM
0
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ = ()
α t
s
R t
== OM 0
α ()
V
s
t
s
t
M/R
R
0
=
d
d
0
()
ττ =
k
( C )
M
O 0
R
α
C
τ
η
a
η
a
τ
(t)
s t
()
a
s
t
s
t
s
t
s
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M/R
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R
R
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0
0
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d
d
d
d
d
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τ
τ
d d
d R 0
τ
t
τ
O
k
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(
)
ω ()
()
t
t
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d
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α
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τ
d
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t
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M/R
2
R
0
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d
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Vs
sR tt
M/R 0
= τ
()
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⎧
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⎪
⎩ ⎪
α
⇒+
+
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V
t
V
a
M/R
M/R
M/
0
0
==
d
d
τ
η
τ
τ
2
R R 0
( )
2
R
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η
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V M/R 0
V M/R 0
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