Annexe
345
A.4 INTÉGRALES DE FERMI
Les intégrales de Fermi sont définies par :
I n (h) =
∞
0
x n dx
exp(x − h) + 1
(36)
où h est un paramètre égal à
m
kT
pour un gaz de Fermi. À basse température, h est grand
et on peut utiliser le développement asymptotique suivant :
∞
0
f (x)dx
exp(x − h) + 1
=
h
0
f (x)dx +
p 2
6
f
(h) +
7p 4
360
f
(h) + . . .
(37)
En se limitant au second ordre en T, on obtient les résultats suivants :
I 1/2 =
2
3
h
3/2
1 +
p 2
8h 2
et I 3/2 =
2
5
h
5/2
1 +
5p 2
8h 2
(38)
En utilisant une intégration par parties, on notera également que :
dI n
dh
= hI n−1
(39)
A.5 INTÉGRALES DE BOSE
Les intégrales de bose sont définies par :
J n (h) =
∞
0
x n dx
exp(x − h) − 1
(40)
Lorsque le potentiel chimique est nul (h = 0), on peut les estimer à l’aide de l’expression
suivante :
∞
0
x a−1 dx
e x − 1
= G(a)z(a) pour x > 1
(41)
où z(a) =
∞
n=1
1
n a est la fonction de Riemann. On a par exemple :
z(3/2) = 2, 612, z(5/2) = 1, 341, z(3) = 1, 202 et z(5) = 1, 037.
On a également la relation suivante qui est utile pour l’étude du rayonnement du corps
noir :
∞
0
x 3 dx
e x − 1
=
p 4
15
(42)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.