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Physique statistique
demi-entiers, on calcule G(n) en utilisant la relation de récurrence (28) et la propriété
G(
1
2 ) =
−
1
2
! =
√
p qui sera établie plus bas. En utilisant les résultats ci-dessus, on en
déduit, après un changement de variable élémentaire, que :
∞
0
x
n e
−ax dx =
n!
a n+1 pour n entier
(29)
A.3.3 Intégrales de la forme
∞
0
x
n e
−ax
2 dx
Soit :
I n =
∞
0
x
n e
−ax 2 dx et J n =
+∞
−∞
x
n e
−ax 2 dx
(30)
Les cas qui nous intéressent en physique statistique sont ceux pour lesquels n est un
nombre entier. Calculons d’abord l’intégrale J 0 . Pour cela, nous passons par l’intermédiaire de J 2
0 que nous savons évaluer en coordonnées polaires :
J
2
0 =
+∞
−∞
e
−ax 2 dx
∞
−∞
e
−ay 2 dy =
e
−a(x 2 +y 2 ) dx dy
=
2p
0
du
∞
0
re
−ar 2 dr =
p
a
(31)
d’où J 0 =
p
a
. On remarquera que J 2n+1 = 0 car la fonction à intégrer est impaire et que
J 2n = 2I 2n car la fonction à intégrer est paire. L’intégrale I n peut s’évaluer par récurrence
en remarquant que :
∂
∂a
∞
0
x
n e
−ax 2 dx =
∞
0
x
n ∂
∂a
e
−ax 2 dx = −
∞
0
x
n+2 e
−ax 2 dx = −I n+2
(32)
d’où :
I n+2 = −
∂
∂a
I n
(33)
donnons quelques valeurs particulières :
I 0 =
1
2
p
a
, I 2 =
1
4a
p
a
, I 4 =
3
8a 2
p
a
; I 1 =
1
2a
, I 3 =
1
2a 2 , I 5 =
1
a 3
(34)
En posant u = ax 2 , on trouve une relation entre I n et la fonction Gamma :
I n =
∞
0
x
n e
−ax 2 dx =
1
2a (n+1)/2
∞
0
u
(n−1)/2 e
−u du =
1
2a (n+1)/2 G
n + 1
2
(35)
Par exemple, G(
1
2 ) = 2I 0 =
√
p.