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Physique statistique
A.2 LES MULTIPLICATEURS DE LAGRANGE
Pour trouver un extremum de la fonction f (x 1 , x 2 , ..., x n ), où x 1 , x 2 ,. . . , x n sont des variables indépendantes, il faut que :
df =
n
i=1
∂f
∂x i
dx i = 0
(16)
comme dx 1 , dx 2 ,. . . , dx n peuvent varier indépendamment, cela conduit aux conditions :
∂f
∂x 1
=
∂f
∂x 2
= ... =
∂f
∂x n
= 0
(17)
Supposons à présent que l’on cherche un extremum de la fonction f (x 1 , x 2 , ..., x n ) en
supposant que les variables sont liées entre elles par les contraintes :
g a (x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0
a = 1 à m
(18)
On n’a plus n variables indépendantes, mais n−m. Une manière de résoudre ce problème
serait d’exprimer m variables en fonction des n − m autres qui sont choisies comme
variables indépendantes. Les contraintes (18) donnent :
dg a =
n
i=1
∂g a
∂x i
dx i = 0
(19)
Pour résoudre le problème avec contraintes, il suffit d’éliminer m différentielles parmi
les n et d’exprimer df en fonction des n − m différentielles indépendantes choisies dx k .
L’extremum est obtenu en annulant chaque terme associé à ces différentielles dx k . Cette
procédure est néanmoins compliquée et il est plus simple d’utiliser la méthode des multiplicateurs de Lagrange que nous allons décrire ci-dessous. Dans ce but considérons la
fonction :
F = f +
m
a=1
l a g a
(20)
où l a sont des constantes appelées paramètres de Lagrange. Cette fonction est extremum si :
dF = df +
m
a=1
l a dg a =
n
i=1
∂f
∂x i
+ l a
m
a=1
∂g a
∂x i
dx i = 0
(21)
Comme notre problème a n − m variables indépendantes, et non n, on ne peut pas annuler chaque terme associé à dx i . Toutefois, nous avons introduit m paramètres l a . Nous
pouvons les choisir de telle manière qu’ils annulent m termes parmi les n, par exemple
les m premiers :
∂f
∂x i
+
m
a=1
l a
∂g a
∂x i
= 0 pour 1 i m
(22)