Annexe
341
où
∂y
∂x
f ,z
signifie que la dérivation se fait à f et z constants. On peut réécrire (9) sous
la forme :
∂y
∂x
f ,z
= −
∂f
∂x
y,z
∂f
∂y
x,z
(10)
Par des raisonnements identiques on trouverait des relations analogues pour les variables
(y, z) et (x, z). Pour obtenir (9) nous avons divisé (1) par dx en tenant compte des conditions df = 0 et dz = 0. Si nous avions divisé par dy nous aurions obtenu :
0 =
∂f
∂x
y,z
∂x
∂y
f ,z
+
∂f
∂y
x,z
soit
∂x
∂y
f ,z
= −
∂f
∂y
x,z
∂f
∂x
y,z
(11)
En comparant (10) et (11) on en déduit le résultat important :
∂x
∂y
f ,z
=
1
∂y
∂x
f ,z
(12)
En utilisant (10) et les relations analogues, on obtient :
∂x
∂y
f ,z
∂y
∂z
f ,x
∂z
∂x
f ,y
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
−
∂f
∂y
x,z
∂f
∂x
y,z
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
−
∂f
∂z
x,y
∂f
∂y
x,z
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
−
∂f
∂x
y,z
∂f
∂z
x,y
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
= −1
(13)
Si nous supposons maintenant que x, y et z dépendent d’une seule variable u : x = x(u),
y = y(u) et z = z(u), on a :
df =
∂f
∂x
y,z
dx
du
+
∂f
∂y
x,z
dy
du
+
∂f
∂z
x,y
dz
du
du
(14)
Si, comme précédemment, on étudie le cas dz = 0, on obtient :
∂y
∂u
f ,z
∂x
∂u
f ,z
= −
∂f
∂x
y,z
∂f
∂y
x,z
soit en utilisant (10)
∂y
∂x
f ,z
=
∂y
∂u
f ,z
∂x
∂u
f ,z
(15)
Le lecteur pourra consulter avec profit l’exercice 3 du chapitre 5 qui utilise une autre
méthode, basée sur les jacobiens, pour évaluer les dérivées partielles.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.