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Physique statistique
Lorsque T → 0, → 0 (le système est dans son état fondamental). L’entropie est
donnée par :
S = k Log Z +

T
= k
Log (1 + 3e −
2
IkT ) + 3
2
IkT
e −
2
IkT
(155)
Or Log (1 + 3e −
2
IkT ) ≈ 3e −
2
IkT . Ce terme est négligeable comparé à

kT
car
2
IkT
1. D’où :
S ≈ 3
2
IkT
e −
2
IkT
(156)
Lorsque T → 0, on trouve S → 0, en accord avec le troisième principe de la thermodynamique. Enfin :
C V =
∂
∂T
V
≈ 3k
2
IkT
2
exp(−
2
IkT
)
(157)
C V → 0 quand T → 0.
Examinons à présent la limite inverse, où kT
2
2I
. Dans ce cas, un grand nombre
de niveaux excités (J =0) ont une probabilité non nulle d’être occupés. Comme pour
l’exemple relatif à une particule libre dans une boîte cubique, on peut remplacer la
somme sur J par une intégrale :
Z =
∞
J=0
(2J + 1)e
−
J(J + 1) 2
2IkT dJ ≈
∞
0
(2J + 1)e
−
J(J + 1) 2
2IkT dJ
(158)
Si nous posons x = J(J + 1), on a dx = (2J + 1)dJ, et :
Z ≈
∞
0
e
−
2
2IkT
x
dx =
2IkT
2 =
2I
b 2
(159)
Donc :
Log Z ≈ − Log b + Log
2I
2
(160)
et :
= −
∂ Log Z
∂b
=
1
b
= kT
(161)
Ainsi, lorsque kT
2
2I
, l’énergie moyenne dans le mouvement de rotation est égale à
kT.