6 • L’ensemble canonique
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6.4 LA FONCTION DE PARTITION
La fonction de partition, définie par l’équation (12), joue un rôle très important en physique statistique. Nous allons lui consacrer maintenant le reste de ce chapitre. Rappelons
son expression :
Z =
r
{j}
e −bE r
(70)
où la somme porte sur tous les niveaux d’énergie (somme sur l’indice r) et sur tous les
micro-états ayant l’énergie E r (somme sur {j}). Cette dernière somme tient compte de la
dégénérescence des niveaux d’énergie. En effet, plusieurs micro-états peuvent conduire
à la même valeur de l’énergie E r . Si g r est la dégénérescence du niveau r on peut aussi
écrire Z comme :
Z =
r
g r e −bE r
(71)
Si le spectre des niveaux d’énergie est continu, ou si ceux-ci sont très rapprochés les uns
des autres, Z s’écrit :
Z =
v(E)e −bE dE
(72)
où v(E) est la densité d’états d’énergie E. La quantité v(E)dE, qui est le nombre de
micro-états dont l’énergie est comprise entre E et E + dE, joue alors le rôle du facteur de
dégénérescence g r de l’expression (71).
Quel que soit le spectre des niveaux d’énergie d’un système, il est important de retenir
que la fonction de partition s’obtient en sommant le facteur de Boltzmann e −bE r sur
tous les micro-états du système à N particules, et pas seulement sur les niveaux d’énergie.
Exemple. Considérons un oscillateur harmonique à une dimension. Les niveaux d’énergie sont
donnés par E n = (n +
1
2 ) v. Si nous plaçons une seule particule de spin nul sur ces niveaux, Z
est donnée par :
Z =
∞
n=0
e −bE n
Par contre, si la particule a un spin s =
3
2 , chaque niveau d’énergie est dégénéré 2s + 1 = 4 fois.
La fonction de partition devient alors :
Z =
∞
n=0
sz=+
3
2
sz=−
3
2
e −bE n =
∞
n=0
4e −bE n
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.