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Physique statistique
Voyons ceci en détails :
Z =
1
h 3
dp e −b
p 2
2m
+L/2
−L/2
dx
+L/2
−L/2
dy
L
0
dz exp(−bmgz) =
1
h 3 C 1 L
2
C 2 (62)
où :
C 1 =
dpe −b
p 2
2m =
2pm
b
3/2
(63)
et :
C 2 =
L
0
dz exp(−bmgz) =
1
bmg
(1 − exp(−bmgL))
(64)
C 1 et C 2 sont deux constantes car les intégrales sont définies. La probabilité P(p) dp de
trouver un atome avec une impulsion comprise entre p et p + dp, en un point quelconque
de la boîte, vaut :
P(p) dp =
1
C 1 C 2 L 2
V
dr exp(−bmgz)
dp e −b
p 2
2m
(65)
Dans cette équation, l’intégration ne porte que sur les coordonnées d’espace. On trouve :
P(p)dp =
1
C 1
e
−b
p 2
2m dp =
1
2pmkT
3/2
e
−
p 2
2mkT dp
(66)
La distribution en impulsion que l’on obtient est identique à celle d’un gaz en l’absence
de gravitation (équation 57). Ceci provient de ce que la température est la même en tout
point du gaz. De plus, comme cela est montré dans l’exercice 5, ce résultat ne dépend
pas de la forme du volume V. La probabilité d’observer un atome à l’altitude z, quelle
que soit son impulsion, est égale à :
P(z)dz =
1
C 1 C 2 L 2
dpe
−b
p 2
2m
+L/2
−L/2
dx
+L/2
−L/2
dy(exp(−bmgz)dz)
(67)
soit :
P(z)dz =
1
C 2
exp(−bmgz)dz
(68)
On a en particulier :
P(z) = P(0) exp(−bmgz)
(69)
C’est la loi dite des atmosphères isothermes. Elle n’est valable que si, pour chaque valeur
de z, la section du volume V est constante.