6 • Les miroirs sphériques
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
donc A
(4; 0) et D
(3,33; 0) . Les cotes de B
et de D
sont obtenues en étudiant l’image
des deux objets AB et C D. La cote en x de B sera la même que celle de A , sa cote en y sera
donnée par le calcul de la taille de l’objet A
B
. On fera le même raisonnement pour l’objet
C D. On trouve alors, pour AB , γ = 1/5 et pour DC , γ = 0,33 . On obtient finalement
B
(4; 2) et C
(3,33; 3,33) .
Le carré est fortement déformé et devient un trapèze très aplati. La partie avant est fortement
agrandie, ce qui explique que l’on se voit avec un très gros nez dans une boule de Noël ou
dans la partie bombée d’une cuillère.
b) Ce raisonnement peut être repris de façon générale pour tout objet de coordonnées
(x, y) . x représente la position de l’objet et y sa hauteur. On a
1
x +
1
x
=
2
r
et
γ = −
x
x
=
y
y
. En combinant ces deux équations, on trouve x =
x
r
2x − r
et y =
r y
r − 2x .
Une droite d’équation y = ax + b est transformée en une autre droite d’équation
y
= ax
+ b , soit y
= −x
a +
2b
r
+ b .
Un cercle d’équation x
2
+ y
2
= 1 est remplacé par une conique d’équation
y
2
+ x
2
1 −
4
r 2
+ 4
x
r
= 1 .
a) Le miroir étant concave, il a un rayon de courbure négatif. On a donc r = −1 m .
• p = −1,4 m . La formule de conjugaison donne p
= −77,7 cm. La formule de grandissement donne γ = −0,55, et A
B
= γ AB = −1,11 cm . L’image est réelle, réduite et renversée.
Pour la construction, on calcule S F =
r
2
= −0,5 m.
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S
D
A
C
B
C
D' A'
C'
B'
A'
B'
A
B
C
F '
S