Avec une loi d’indice de la forme n
2
(z) = n
2
0 − kz , l’équation différentielle devient :
dz
√
(n 0 cos i 0 ) 2 − kz
=
dx
n 0 sin i 0
dont la solution évidente est :
−
2
k
√
(n 0 cos i 0 ) 2 − kz =
x
n 0 sin i 0
+ C
Si, au sol, n = n 0 pour x = z = 0 , on détermine la constante C = −
2
k
n 0 cos i 0 .
Après simplification, z dépend de x selon une loi parabolique :
z(x) = −
kx
2
(2n 0 sin i 0 ) 2 +
x
tan i 0
La courbure du rayon dépend donc essentiellement du signe de k et donc du gradient
d’indice. Suivant le signe de la constante k , la parabole, et donc le rayon, sont tournés
vers le haut (k < 0 ) ou vers le bas (k > 0 ). Dans le premier cas, on décrit un mirage
inférieur, dans le deuxième un mirage supérieur. Le premier cas est par exemple le phénomène de « flaque d’eau sur les routes », le deuxième, celui du coucher et du lever du
Soleil. Les 2 situations sont schématisées sur les figures 4.11 et 4.12.
Optique
94
Indice croissant
Indice décroissant
Figure 4.11 • Quand l’indice croît avec l’altitude,
les rayons sont courbés vers le haut. L’image est
au-dessous de l’objet. C’est le phénomène de
« flaques d’eau » sur les routes.
Figure 4.12 • Quand l’indice décroît avec l’altitude,
le rayon est courbé vers le bas. L’image est au-dessus
de l’objet. C’est la situation normale de l’atmosphère
où la réfraction relève les images, provoquant
par exemple un retard du coucher du Soleil
et une avance de son lever.
Lorsque k > 0 , l’observateur placé en B (figure
4.13) voit l’image O
d’un objet terrestre O dans
le ciel ! La distance O B est donnée par la valeur
de x , différente de zéro, qui annule z , soit :
x B =
2n
2
0 sin 2i 0
k
Dans des conditions climatiques normales
(n 0 = 1,00029 et k = 6 · 10
−6 km
−1 ), cette distance est très grande, de plusieurs centaines de
milliers de kilomètres ! Pour qu’elle soit réduite, il faudrait des valeurs de k beaucoup
plus importantes, c’est-à-dire des anomalies de gradient thermique telles que celles
observées dans les pays froids ou en hiver à nos latitudes.
i 0
Trajectoire
du rayon
z
x
O
B
O'
Figure 4.13 • Trajectoire d’un rayon
dans un mirage supérieur.
2
(z) = n
2
0 − kz , l’équation différentielle devient :
dz
√
(n 0 cos i 0 ) 2 − kz
=
dx
n 0 sin i 0
dont la solution évidente est :
−
2
k
√
(n 0 cos i 0 ) 2 − kz =
x
n 0 sin i 0
+ C
Si, au sol, n = n 0 pour x = z = 0 , on détermine la constante C = −
2
k
n 0 cos i 0 .
Après simplification, z dépend de x selon une loi parabolique :
z(x) = −
kx
2
(2n 0 sin i 0 ) 2 +
x
tan i 0
La courbure du rayon dépend donc essentiellement du signe de k et donc du gradient
d’indice. Suivant le signe de la constante k , la parabole, et donc le rayon, sont tournés
vers le haut (k < 0 ) ou vers le bas (k > 0 ). Dans le premier cas, on décrit un mirage
inférieur, dans le deuxième un mirage supérieur. Le premier cas est par exemple le phénomène de « flaque d’eau sur les routes », le deuxième, celui du coucher et du lever du
Soleil. Les 2 situations sont schématisées sur les figures 4.11 et 4.12.
Optique
94
Indice croissant
Indice décroissant
Figure 4.11 • Quand l’indice croît avec l’altitude,
les rayons sont courbés vers le haut. L’image est
au-dessous de l’objet. C’est le phénomène de
« flaques d’eau » sur les routes.
Figure 4.12 • Quand l’indice décroît avec l’altitude,
le rayon est courbé vers le bas. L’image est au-dessus
de l’objet. C’est la situation normale de l’atmosphère
où la réfraction relève les images, provoquant
par exemple un retard du coucher du Soleil
et une avance de son lever.
Lorsque k > 0 , l’observateur placé en B (figure
4.13) voit l’image O
d’un objet terrestre O dans
le ciel ! La distance O B est donnée par la valeur
de x , différente de zéro, qui annule z , soit :
x B =
2n
2
0 sin 2i 0
k
Dans des conditions climatiques normales
(n 0 = 1,00029 et k = 6 · 10
−6 km
−1 ), cette distance est très grande, de plusieurs centaines de
milliers de kilomètres ! Pour qu’elle soit réduite, il faudrait des valeurs de k beaucoup
plus importantes, c’est-à-dire des anomalies de gradient thermique telles que celles
observées dans les pays froids ou en hiver à nos latitudes.
i 0
Trajectoire
du rayon
z
x
O
B
O'
Figure 4.13 • Trajectoire d’un rayon
dans un mirage supérieur.