On en déduit :
¨
x 2 − ¨
x 1 = −k
1
m 1
+
1
m 2
(x − x 0 )
soit
¨
x = −
k
μ
(x − x 0 ) avec
1
μ
=
1
m 1
+
1
m 2
2) Si on pose ω
2
0 =
k
μ
, la solution de l’équation différentielle est de la forme :
x = A cos (ω 0 t + ϕ) avec ω 0 =
k
μ
La molécule a un mouvement de vibration sinusoïdal, de fréquence ν 0 =
ω 0
2π
, autour
de la position d’équilibre.
C) E p = −ax −6 + bx −12
Le développement limité au 2 e ordre de E p (x) au voisinage de x = x 0 s’écrit :
E p (x) = E p (x 0 ) + (x − x 0 )
dE p
dx
x 0
+
(x − x 0 )
2!
d 2 E p
dx 2
x 0
+ . . .
On a successivement :
E p (x) = −
a 2
4b
dE p
dx
x 0
= 6ax
−7
0 − 12bx
−13
0
= 0
d 2 E p
dx 2 = −42ax
−8
+ 156bx
−14
= 6x
−8 [−7a + 26bx
−6 ]
d 2 E p
dx 2
x 0
=
6a
2b
·
1
x
2
0
− 7a + 26b
a
2b
=
18a 2
bx
2
0
Au voisinage de x 0 , on peut donc écrire E p sous la forme :
E p −
a 2
4b
+
(x − x 0 ) 2
2
18a 2
bx
2
0
−E D + 36
E D
x
2
0
(x − x 0 )
2
Puisque
F = −
− − →
grad E p = −
dE p
dx
e x
146
5 Énergie électrostatique