7. Vecteurs
Exercice 7.6 On vous donne trois vecteurs,
a = 3i + 2 j − k,
b = 2i − j + k,
c = i + 3 j
où (i, j,k) forment un trièdre direct orthonormé. Trouver :
(a) a + b
(c) a x
(e) a · b
(b) a − b
(d) a · i
(f) (a · c)b − (a · b)c
Exercice 7.7 Une particule d’une masse de 1 kg se déplace de telle façon que son
mouvement est décrit par le vecteur :
r(t) = ti + (t + t
2
/2) j − (4/π
2 ) sin (πt/2)k.
(a) Trouver la position, la vitesse u(t), l’accélération a(t), et l’énergie cinétique T (t) de
la particule à t = 0 et t = 1 s.
(b) Trouver la force F(t) qui produit ce mouvement.
(c) Trouver le rayon de courbure R(t) de la trajectoire de la particule à t = 1 s.
Exercice 7.8 Un pilote volant à une vitesse par rapport à l’air de 180 km h −1 veut
voyager droit vers le Nord. Il sait, par ses conversations avec les météorologues de l’aérodrome, qu’il y a un vent de 45 km h −1 d’Ouest en Est à son altitude de vol.
(a) Dans quelle direction doit-il diriger son avion ?
(b) Quelle sera la durée T de son vol, si sa destination et à 160 km ? (On négligera le
temps de décollage et d’atterrissage.)
Exercice 7.9 Un cycliste roule à 15 km h −1 vers le Nord, et le vent, qui souffle
à 10 km h −1 d’un point situé entre le Nord et l’Est, paraît, au cycliste, provenir d’un
point à 15 ◦ -Est du nord.
(a) Trouver la vraie direction du vent.
(b) Trouver la direction que paraîtra avoir le vent au retour du cycliste, s’il roule à la
même vitesse.
Exercice 7.10 Un homme assis sur la berge d’une rivière de 1,6 km de large souhaite
aller en un point exactement symétrique du sien sur l’autre berge. Il peut le faire de deux
façons :
(a) se diriger à contre-courant, de façon que son mouvement résultant soit tout droit.
(b) viser le point auquel il veut arriver sur la berge d’en face, puis marcher le long de
la berge depuis le point, en aval, où le courant l’a amené.
S’il nage à 4 km h −1 et qu’il marche à 6 km h −1 , et si le courant a une vitesse de 3 km h −1 ,
quelle est la façon la plus rapide de traverser, et de combien ?
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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Exercice 7.6 On vous donne trois vecteurs,
a = 3i + 2 j − k,
b = 2i − j + k,
c = i + 3 j
où (i, j,k) forment un trièdre direct orthonormé. Trouver :
(a) a + b
(c) a x
(e) a · b
(b) a − b
(d) a · i
(f) (a · c)b − (a · b)c
Exercice 7.7 Une particule d’une masse de 1 kg se déplace de telle façon que son
mouvement est décrit par le vecteur :
r(t) = ti + (t + t
2
/2) j − (4/π
2 ) sin (πt/2)k.
(a) Trouver la position, la vitesse u(t), l’accélération a(t), et l’énergie cinétique T (t) de
la particule à t = 0 et t = 1 s.
(b) Trouver la force F(t) qui produit ce mouvement.
(c) Trouver le rayon de courbure R(t) de la trajectoire de la particule à t = 1 s.
Exercice 7.8 Un pilote volant à une vitesse par rapport à l’air de 180 km h −1 veut
voyager droit vers le Nord. Il sait, par ses conversations avec les météorologues de l’aérodrome, qu’il y a un vent de 45 km h −1 d’Ouest en Est à son altitude de vol.
(a) Dans quelle direction doit-il diriger son avion ?
(b) Quelle sera la durée T de son vol, si sa destination et à 160 km ? (On négligera le
temps de décollage et d’atterrissage.)
Exercice 7.9 Un cycliste roule à 15 km h −1 vers le Nord, et le vent, qui souffle
à 10 km h −1 d’un point situé entre le Nord et l’Est, paraît, au cycliste, provenir d’un
point à 15 ◦ -Est du nord.
(a) Trouver la vraie direction du vent.
(b) Trouver la direction que paraîtra avoir le vent au retour du cycliste, s’il roule à la
même vitesse.
Exercice 7.10 Un homme assis sur la berge d’une rivière de 1,6 km de large souhaite
aller en un point exactement symétrique du sien sur l’autre berge. Il peut le faire de deux
façons :
(a) se diriger à contre-courant, de façon que son mouvement résultant soit tout droit.
(b) viser le point auquel il veut arriver sur la berge d’en face, puis marcher le long de
la berge depuis le point, en aval, où le courant l’a amené.
S’il nage à 4 km h −1 et qu’il marche à 6 km h −1 , et si le courant a une vitesse de 3 km h −1 ,
quelle est la façon la plus rapide de traverser, et de combien ?
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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