38. Calcul différentiel de champs de vecteurs
4. Montrer que dans l’espace vide, B satisfait la même équation,
∇
2 B −
1
c 2
∂ 2 B
∂t 2 = 0.
5. Montrer que l’équation (2) implique que E peut s’écrire
E = −∇φ −
∂ A
∂t
,
où A est défini par B = ∇ × A.
6. Pourquoi B peut-il s’écrire ∇ × A ?
Exercice 38.5 La vitesse d’un objet solide tournant autour d’un axe est un champ
u(x,y,z). Montrer que
(a) ∇ · u = 0.
(b) ∇ × u = 2ω, où ω = vitesse angulaire.
Exercice 38.6
(a) Démontrer par un calcul direct que si A est un vecteur constant et que R est le
vecteur radial, alors
∇ × (A × R) = 2A.
(b) Pour les vecteurs, nous savons que
B × (A × C) = A(B · C) − (B · A)C.
ce qui pourrait nous mener à penser que
∇ × (A × R) = A(∇ · R) − (∇ · A)R = 3A.
(Faux)
Pourquoi la substitution de ∇ à la place de B donne-t-elle un résultat incorrect ?
Exercice 38.7 Une longue barre en acier est soumise à un traitement thermique original. À un certain temps t, quand elle refroidit, la distribution de température T (x)
est comme celle de la partie (a) de la figure 38.1, et les isothermes tous les intervalles
de 10 ◦ C sont montrés sur la partie (b). Nous supposons, dans tout ceci, que la température ne dépend que de x, la distance à une extrémité de la barre.
(a) Aux points A, B, et C dessiner des flèches dont la direction et la longueur représentent celles de ∇T .
(b) Auquel des cinq points marqués est-ce que la divergence du flux de chaleur h est
le plus grand ?
(c) En combien des cinq points marqués est-ce que ∇ × h = 0 ?
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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4. Montrer que dans l’espace vide, B satisfait la même équation,
∇
2 B −
1
c 2
∂ 2 B
∂t 2 = 0.
5. Montrer que l’équation (2) implique que E peut s’écrire
E = −∇φ −
∂ A
∂t
,
où A est défini par B = ∇ × A.
6. Pourquoi B peut-il s’écrire ∇ × A ?
Exercice 38.5 La vitesse d’un objet solide tournant autour d’un axe est un champ
u(x,y,z). Montrer que
(a) ∇ · u = 0.
(b) ∇ × u = 2ω, où ω = vitesse angulaire.
Exercice 38.6
(a) Démontrer par un calcul direct que si A est un vecteur constant et que R est le
vecteur radial, alors
∇ × (A × R) = 2A.
(b) Pour les vecteurs, nous savons que
B × (A × C) = A(B · C) − (B · A)C.
ce qui pourrait nous mener à penser que
∇ × (A × R) = A(∇ · R) − (∇ · A)R = 3A.
(Faux)
Pourquoi la substitution de ∇ à la place de B donne-t-elle un résultat incorrect ?
Exercice 38.7 Une longue barre en acier est soumise à un traitement thermique original. À un certain temps t, quand elle refroidit, la distribution de température T (x)
est comme celle de la partie (a) de la figure 38.1, et les isothermes tous les intervalles
de 10 ◦ C sont montrés sur la partie (b). Nous supposons, dans tout ceci, que la température ne dépend que de x, la distance à une extrémité de la barre.
(a) Aux points A, B, et C dessiner des flèches dont la direction et la longueur représentent celles de ∇T .
(b) Auquel des cinq points marqués est-ce que la divergence du flux de chaleur h est
le plus grand ?
(c) En combien des cinq points marqués est-ce que ∇ × h = 0 ?
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