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Physique quantique : Fondements
et θ ⊥
|θ =cosθ |x +sinθ |y
|θ ⊥ = − sin θ |x +cosθ |y
(11.54)
Un calcul immédiat montre que |Ψ AB est invariant par rotation autour de
Oz
|Ψ AB =
1
√
2
|θ A θ ⊥B −|θ ⊥A θ B
(11.55)
La polarisation des photons est analysée par Alice et Bob qui utilisent des
axes ˆ
a et ˆ b orientés suivant les directions θ A et θ B du plan xOy (figure 11.5).
Introduisons la quantité A définie comme suit : A =+1si la polarisation du
photon est orientée suivant θ A et A = −1 si elle est orientée suivant θ ⊥A ;o n
définit de même pour Bob les valeurs B = ±1. Comme dans le cas du spin 1/2,
on utilise l’invariance par rotation autour de Oz pour choisir ˆ
a suivant Ox et
ˆ b dans xOy faisant un angle θ avec Ox. On doit calculer la probabilité
p
|Ψ AB →|x A ⊗ θ B
avec
|x A ⊗ θ B =cosθ|x A ⊗ x B +sinθ|x A ⊗ y B
soit pour l’amplitude de probabilité
a
|Ψ AB →|x A ⊗ θ B
=
1
√
2
sin θ
et pour la probabilité
p
|Ψ AB →|x A ⊗ θ B
=
1
2
sin
2 θ
(11.56)
Comme on pouvait s’y attendre, il suffit de remplacer l’angle θ/2 du résultat
(11.46) pour le spin 1/2 par l’angle θ pour le photon de spin 1 et l’on trouve
AB =
1
2
−2cos
2 θ +2sin
2 θ
= − cos(2θ)
(11.57)
LabornedeCirelsonS ≤ 2
√
2 est évidemment identique à celle obtenue dans
le cas du spin 1/2, et l’orientation des axes donnant cette borne s’obtient à
partir de celle de la figure 11.4 en divisant les angles par deux.
Revenons maintenant à la question de la localité dans le cadre de la relativité restreinte. Il est bien connu que la relativité restreinte interdit tout
échange d’énergie ou d’information à une vitesse supérieure à la vitesse de la
lumière, c. Autrement dit, la relativité restreinte interdit toute communication supraluminique (ce qui est souvent appelé en anglais condition de “non
Physique quantique : Fondements
et θ ⊥
|θ =cosθ |x +sinθ |y
|θ ⊥ = − sin θ |x +cosθ |y
(11.54)
Un calcul immédiat montre que |Ψ AB est invariant par rotation autour de
Oz
|Ψ AB =
1
√
2
|θ A θ ⊥B −|θ ⊥A θ B
(11.55)
La polarisation des photons est analysée par Alice et Bob qui utilisent des
axes ˆ
a et ˆ b orientés suivant les directions θ A et θ B du plan xOy (figure 11.5).
Introduisons la quantité A définie comme suit : A =+1si la polarisation du
photon est orientée suivant θ A et A = −1 si elle est orientée suivant θ ⊥A ;o n
définit de même pour Bob les valeurs B = ±1. Comme dans le cas du spin 1/2,
on utilise l’invariance par rotation autour de Oz pour choisir ˆ
a suivant Ox et
ˆ b dans xOy faisant un angle θ avec Ox. On doit calculer la probabilité
p
|Ψ AB →|x A ⊗ θ B
avec
|x A ⊗ θ B =cosθ|x A ⊗ x B +sinθ|x A ⊗ y B
soit pour l’amplitude de probabilité
a
|Ψ AB →|x A ⊗ θ B
=
1
√
2
sin θ
et pour la probabilité
p
|Ψ AB →|x A ⊗ θ B
=
1
2
sin
2 θ
(11.56)
Comme on pouvait s’y attendre, il suffit de remplacer l’angle θ/2 du résultat
(11.46) pour le spin 1/2 par l’angle θ pour le photon de spin 1 et l’on trouve
AB =
1
2
−2cos
2 θ +2sin
2 θ
= − cos(2θ)
(11.57)
LabornedeCirelsonS ≤ 2
√
2 est évidemment identique à celle obtenue dans
le cas du spin 1/2, et l’orientation des axes donnant cette borne s’obtient à
partir de celle de la figure 11.4 en divisant les angles par deux.
Revenons maintenant à la question de la localité dans le cadre de la relativité restreinte. Il est bien connu que la relativité restreinte interdit tout
échange d’énergie ou d’information à une vitesse supérieure à la vitesse de la
lumière, c. Autrement dit, la relativité restreinte interdit toute communication supraluminique (ce qui est souvent appelé en anglais condition de “non