9. Moment angulaire
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la désintégration est invariant par parité, ce qui est le cas pour les interactions
électromagnétiques et fortes, mais non pour les interactions faibles, on obtiendra des contraintes supplémentaires. Il est commode d’introduire l’opérateur
Y, produit d’une rotation de π autour de l’axe Oy et de l’opération parité Π
(§ 7.3.3)
Y = e
−iπJy
Y = Y Π=e
−iπJy Π=Πe
−iπJy
(9.100)
Cette opération n’est autre qu’une réflexion par rapport au plan xOz : Y est
l’opérateur de réflexion par rapport à ce plan. Étudions tout d’abord l’action
de Y . Cet opérateur transforme J x en −J x , J z en −J z et laisse J y inchangé
Y
−1 J z Y = −J z
Y
−1 J ± Y = −J ∓
(9.101)
Examinons l’action de Y sur un état |jm
J z (Y |jm)=−YJ z |jm = −m(Y |jm)
L’état Y |jm est donc égal à |j, −m à un facteur de phase près
Y |jm = e
iα(j,m) |j, −m
car Y est unitaire et conserve la norme. Ce résultat n’est pas surprenant car
l’action de Y équivaut à renverser la direction de l’axe de quantification du
moment angulaire. Suivant une stratégie déjà mise en œuvre dans le cas de la
parité, on utilise l’action de J + pour relier α(j, m) à α(j, m +1)
J + Y |jm = e
iα(j,m)
J + |j, −m =
j(j +1)− m(m − 1) e
iα(j,m) |j, −m +1
= −YJ − |jm = −
j(j +1)− m(m − 1) Y |j, m − 1
= −
j(j +1)− m(m − 1) e
iα(j,m−1) |j, −m +1
soit
e
iα(j,m−1) = −e
iα(j,m)
Comme Y est une rotation de π, Y
2
est une rotation de 2π, Y
2 =(−1)
2j
et
Y
2 |jm = e
iα(j,m)
e
iα(j,−m) |jm = e
2iα(j,m) (−1)
2m |jm =(−1)
2j |jm
d’où les deux solutions possibles
e
iα(j,m) =(−1)
j−m ou e
iα(j,m) =(−1)
j+m
Les deux solutions sont identiques pour j entier, et pour j =1 /2 on vérifie
sur (9.38) que la première solution est la bonne ; on peut montrer que c’est
aussi le cas pour tout j demi-entier. En fin de compte,
Y |jm =(−1)
j−m |j, −m
Y
−1 |jm =(−1)
j+m |j, −m
(9.102)