5. Systèmes à nombre de niveaux fini
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Quels sont les états propres |χ + et |χ − de H et les énergies E + et E − ,
E + χ ± (x)=x|χ ± de l’électron sur l’axe des x.
4. Le paramètre A est une fonction de la distance r entre les protons : A(r).
Justifier le fait que A est une fonction décroissante de r et que lim r→∞ A(r)=
0. L’énergie de l’électron est donc une fonction de r, E ± (r).
5. Montrer que pour trouver l’énergie totale de l’ion E
′
± (r),ondoitajouter
un terme +e
2 /r. Quelle est l’origine physique de ce terme ?
6. On paramétrise A(r) par
A(r)=ce
2 exp
−
r
b
où b est une longueur et c l’inverse d’une longueur. Donner l’expression des
deux niveaux d’énergie E
′
+ et E
′
− de l’ion. Soit
∆E(r)=E
′
+ (r) − E 0
la différence d’énergie entre l’état fondamental de l’ion et celui de l’atome
d’hydrogène. Montrer que ∆E(r) peut passer par un minimum pour une valeur
r = r 0 et en déduire
∆E(r 0 )=
e
2
r 0
1 −
b
r 0
Quelle condition doit-on avoir sur b et r 0 pour que l’ion H
+
2 soit un état lié ?
7. Les valeurs expérimentales sont r 0 ≃ 2a 0 et ∆E(r 0 ) ≃ E 0 /5=
−e
2 /(10a 0 ). En déduire b et c en fonction de a 0 .
5.5.6 Compléments sur la RMN
1. Obtenir la formule (5.43) en examinant la figure 5.7b décrivant la rotation du spin dans le référentiel tournant. Suggestion : utiliser l’équation (7.23)
en décomposant b suivant un vecteur ˆ
n
B eff et un vecteur perpendiculaire,
avec θ =Ωt.
2. On suppose que le champ de radio-fréquences
B 1 est de la forme
B 1 (t)=2ˆ xB 1 cos ωt
Montrer que le hamiltonien dans le référentiel tournant est
ˆ
H(t)=
1
2
δσ z −
1
2
ω 1 σ x + ω 1
σ + e
−2iωt + σ − e
2iωt
Que peut-on dire des termes entre crochets à l’approximation séculaire ? Interprétation physique : on récrit
B 1
B 1 (t)=B 1 (ˆ x cos ωt − ˆ
y sin ωt)+B 1 (ˆ x cos ωt +ˆ y sin ωt)
Quel est le terme éliminé par l’approximation séculaire ? Pourquoi ?