5. Systèmes à nombre de niveaux fini
175
et nous utilisons l’analogue de (5.32)
˜
σ ± (t)=e
∓iω0t σ ±
(5.57)
pour obtenir
˜
W (t)=
1
2
dE 0
σ + e
iδt + σ − e
−iδt + σ + e
−i(ω+ω0)t + σ − e
i(ω+ω0)t
(5.58)
À la résonance, les deux premiers termes du crochet redonnent le résultat
(5.34) de la RMN, mais deux termes supplémentaires ont fait leur apparition.
En fait, ceci est dû au choix d’une polarisation linéaire pour
E, car dans le
cas d’une polarisation circulaire, nous serions retombés sur les équations du
§ 5.2.1. Dans le cas de la RMN, nous aurions également vu apparaître ces
termes supplémentaires si nous avions choisi un champ de radiofréquences
B 1
orienté suivant un axe fixe (exercice 5.5.6)
B 1 (t)=2ˆ xB 1 cos ωt
Ces termes supplémentaires peuvent être négligés si deux conditions sont réalisées.
• La perturbation apportée par le champ électrique est faible : d E 0 ≪ A,
ou de façon équivalente, d E 0 / ≪ ω 0 . La fréquence de Rabi est cette
fois la quantité ω 1 = d E 0 /. La condition de champ faible est donc aussi
ω 1 ≪ ω 0 ,c eq u ie s t− presque − toujours réalisé en pratique.
• La deuxième hypothèse est que la fréquence du champ électrique soit
proche de la résonance : ω ≃ ω 0 , condition qui s’exprime en fonction du
désaccord δ =( ω − ω 0 ) et qui s’écrit plus précisément |δ|≪ω 0 .D a n s
ces conditions, les termes en exp[±i(ω + ω 0 )t] de (5.58) varient très
rapidement par rapport aux termes en exp(±iδt) et leur effet moyenné
dans le temps est négligeable.
Si ces deux conditions sont vérifiées, on peut alors négliger les termes en
exp[±i(ω + ω 0 )t] dans (5.58). Cette approximation est appelée approximation
séculaire
14 , et le hamiltonien dans le point de vue de l’interaction est
˜
W (t)=
1
2
ω 1
σ + e
iδt + σ − e
−iδt
(5.59)
˜
W (t) est indépendant du temps à la résonance
˜
W res (t)= ˜
W res =
1
2
ω 1 σ x
(5.60)
Plaçons-nous exactement à la résonance en prenant la fréquence du champ
électrique égale à la fréquence de la transition : ω = ω 0 . Supposons par
14. Ou approximation des ondes tournantes, ou encore approximation quasi-résonante.
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et nous utilisons l’analogue de (5.32)
˜
σ ± (t)=e
∓iω0t σ ±
(5.57)
pour obtenir
˜
W (t)=
1
2
dE 0
σ + e
iδt + σ − e
−iδt + σ + e
−i(ω+ω0)t + σ − e
i(ω+ω0)t
(5.58)
À la résonance, les deux premiers termes du crochet redonnent le résultat
(5.34) de la RMN, mais deux termes supplémentaires ont fait leur apparition.
En fait, ceci est dû au choix d’une polarisation linéaire pour
E, car dans le
cas d’une polarisation circulaire, nous serions retombés sur les équations du
§ 5.2.1. Dans le cas de la RMN, nous aurions également vu apparaître ces
termes supplémentaires si nous avions choisi un champ de radiofréquences
B 1
orienté suivant un axe fixe (exercice 5.5.6)
B 1 (t)=2ˆ xB 1 cos ωt
Ces termes supplémentaires peuvent être négligés si deux conditions sont réalisées.
• La perturbation apportée par le champ électrique est faible : d E 0 ≪ A,
ou de façon équivalente, d E 0 / ≪ ω 0 . La fréquence de Rabi est cette
fois la quantité ω 1 = d E 0 /. La condition de champ faible est donc aussi
ω 1 ≪ ω 0 ,c eq u ie s t− presque − toujours réalisé en pratique.
• La deuxième hypothèse est que la fréquence du champ électrique soit
proche de la résonance : ω ≃ ω 0 , condition qui s’exprime en fonction du
désaccord δ =( ω − ω 0 ) et qui s’écrit plus précisément |δ|≪ω 0 .D a n s
ces conditions, les termes en exp[±i(ω + ω 0 )t] de (5.58) varient très
rapidement par rapport aux termes en exp(±iδt) et leur effet moyenné
dans le temps est négligeable.
Si ces deux conditions sont vérifiées, on peut alors négliger les termes en
exp[±i(ω + ω 0 )t] dans (5.58). Cette approximation est appelée approximation
séculaire
14 , et le hamiltonien dans le point de vue de l’interaction est
˜
W (t)=
1
2
ω 1
σ + e
iδt + σ − e
−iδt
(5.59)
˜
W (t) est indépendant du temps à la résonance
˜
W res (t)= ˜
W res =
1
2
ω 1 σ x
(5.60)
Plaçons-nous exactement à la résonance en prenant la fréquence du champ
électrique égale à la fréquence de la transition : ω = ω 0 . Supposons par
14. Ou approximation des ondes tournantes, ou encore approximation quasi-résonante.