5. Systèmes à nombre de niveaux fini
171
E 0 + A
E 0
E 0
E 0 + A
E 0 + A
E 0 − A
Fig. 5.12 – Clivage de deux niveaux E0 et E
′
0 .
non nulle pour franchir ce plan, et le hamiltonien prend la forme (5.2)
H =
E 0 −A
−AE 0
(5.46)
avec bien sûr des valeurs de E 0 et A différentes de celles de la section 5.1. La
valeur de E 0 n’est pas importante pour notre discussion. En revanche, il vaut
la peine d’observer que la valeur de A dans (5.46) diffère de celle de (5.2) par
plusieurs ordres de grandeur. En effet, nous avons maintenant 2A ≃ 10
−4 eV,
alors que précédemment 2A était de l’ordre de 1 eV : ceci reflète le fait qu’il est
facile à un électron π de sauter d’un atome à l’autre, alors qu’il est très difficile
à l’atome d’azote de franchir le plan des atomes d’hydrogène. Cette énergie
de 10
−4 eV correspond à une fréquence de 24 GHz, ou à une longueur d’onde
de 1.25 cm, dans le domaine des ondes centimétriques. Elle est très faible par
rapport aux énergies d’excitation des électrons (quelques eV), faible par rapport aux énergies de vibration (∼ 0.1 e V )e tm ê m ed er o t a t i o n
11 (∼ 10
−3 eV).
Cette comparaison justifie l’approximation par un système à deux niveaux,
car la différence entre deux niveaux de rotation successifs est de l’ordre de
10 A (figure 5.12). Cependant, la molécule n’est pas dans son niveau de rotation fondamental, car k B T ∼ 0.025 eV est grand par rapport à ∼ 10
−3 eV : les
niveaux de rotation sont excités thermiquement.
Suivant la discussion du § 5.1.1, les niveaux d’énergie de H sont E 0 ∓ A,
correspondant aux états stationnaires (5.2) et (5.3)
E 0 − A : |χ + =
1
√
2
|ϕ 1 + |ϕ 2
=
1
√
2
1
1
E 0 + A : |χ − =
1
√
2
|ϕ 1 −|ϕ 2
=
1
√
2
1
−1
(5.47)
11. La molécule d’ammoniac possède deux fréquences propres de rotation, dont une
dégénérée, correspondant à des énergies de 0.8 × 10 −3 eV et de 1.2 × 10 −3 eV (dégénérée),
et quatre modes de vibration dont deux dégénérés, l’énergie la plus faible étant de 0.12 eV.
De plus, il faudrait tenir compte des complications dues à la structure hyperfine.
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E 0 + A
E 0
E 0
E 0 + A
E 0 + A
E 0 − A
Fig. 5.12 – Clivage de deux niveaux E0 et E
′
0 .
non nulle pour franchir ce plan, et le hamiltonien prend la forme (5.2)
H =
E 0 −A
−AE 0
(5.46)
avec bien sûr des valeurs de E 0 et A différentes de celles de la section 5.1. La
valeur de E 0 n’est pas importante pour notre discussion. En revanche, il vaut
la peine d’observer que la valeur de A dans (5.46) diffère de celle de (5.2) par
plusieurs ordres de grandeur. En effet, nous avons maintenant 2A ≃ 10
−4 eV,
alors que précédemment 2A était de l’ordre de 1 eV : ceci reflète le fait qu’il est
facile à un électron π de sauter d’un atome à l’autre, alors qu’il est très difficile
à l’atome d’azote de franchir le plan des atomes d’hydrogène. Cette énergie
de 10
−4 eV correspond à une fréquence de 24 GHz, ou à une longueur d’onde
de 1.25 cm, dans le domaine des ondes centimétriques. Elle est très faible par
rapport aux énergies d’excitation des électrons (quelques eV), faible par rapport aux énergies de vibration (∼ 0.1 e V )e tm ê m ed er o t a t i o n
11 (∼ 10
−3 eV).
Cette comparaison justifie l’approximation par un système à deux niveaux,
car la différence entre deux niveaux de rotation successifs est de l’ordre de
10 A (figure 5.12). Cependant, la molécule n’est pas dans son niveau de rotation fondamental, car k B T ∼ 0.025 eV est grand par rapport à ∼ 10
−3 eV : les
niveaux de rotation sont excités thermiquement.
Suivant la discussion du § 5.1.1, les niveaux d’énergie de H sont E 0 ∓ A,
correspondant aux états stationnaires (5.2) et (5.3)
E 0 − A : |χ + =
1
√
2
|ϕ 1 + |ϕ 2
=
1
√
2
1
1
E 0 + A : |χ − =
1
√
2
|ϕ 1 −|ϕ 2
=
1
√
2
1
−1
(5.47)
11. La molécule d’ammoniac possède deux fréquences propres de rotation, dont une
dégénérée, correspondant à des énergies de 0.8 × 10 −3 eV et de 1.2 × 10 −3 eV (dégénérée),
et quatre modes de vibration dont deux dégénérés, l’énergie la plus faible étant de 0.12 eV.
De plus, il faudrait tenir compte des complications dues à la structure hyperfine.