Chapitre 5
Systèmes à nombre de niveaux fini
Ce chapitre examine quelques applications simples de la mécanique quantique, dans des situations où l’on obtient une bonne modélisation d’un système
quantique en se restreignant à un espace des états de dimension finie. Si chaque
niveau d’énergie, même dégénéré, est compté une fois, la dimension de l’espace
des états H est égale au nombre de niveaux : c’est pourquoi on parle de syst è m eàn o m b r ed en i v e a u xfi n i . Les deux premiers exemples seront empruntés
à la chimie quantique et nous permettront d’étudier le cas stationnaire, celui
d’un hamiltonien indépendant du temps. Cependant, le point essentiel de ce
chapitre est l’introduction de la dépendance par rapport au temps induite par
un couplage d’un système à deux niveaux avec un champ extérieur classique
périodique. Cette dépendance par rapport au temps sera illustrée par trois
exemples d’une grande importance pratique : la résonance magnétique nucléaire ou RMN (section 5.2), la molécule d’ammoniac (section 5.3) et l’atome
à deux niveaux (section 5.4).
5.1 Chimie quantique élémentaire
5.1.1 Molécule d’éthylène
La molécule d’éthylène C 2 H 4 servira d’introduction au sujet. L’“ossature” de
cette molécule est formée par les liaisons dites liaisons σ : des paires d’électrons σ de spin opposé sont mises en commun entre les deux atomes de carbone
ainsi qu’entre les atomes de carbone et les atomes d’hydrogène, formant un
ion (C 2 H 4 )
++
(figure 5.1). Il reste à placer deux électrons, appelés électrons
π, qui sont mobiles : schématiquement ces deux électrons peuvent sauter d’un
atome de carbone à l’autre. On dit qu’ils sont délocalisés.L ef a i td et r a i -
ter séparément électrons π et électrons σ est bien sûr une approximation,
mais cette approximation joue un grand rôle dans la théorie de la liaison chimique. Commençons par placer le premier électron π. Celui-ci peut être localisé au voisinage de l’atome de carbone 1 ; l’état quantique correspondant sera
Systèmes à nombre de niveaux fini
Ce chapitre examine quelques applications simples de la mécanique quantique, dans des situations où l’on obtient une bonne modélisation d’un système
quantique en se restreignant à un espace des états de dimension finie. Si chaque
niveau d’énergie, même dégénéré, est compté une fois, la dimension de l’espace
des états H est égale au nombre de niveaux : c’est pourquoi on parle de syst è m eàn o m b r ed en i v e a u xfi n i . Les deux premiers exemples seront empruntés
à la chimie quantique et nous permettront d’étudier le cas stationnaire, celui
d’un hamiltonien indépendant du temps. Cependant, le point essentiel de ce
chapitre est l’introduction de la dépendance par rapport au temps induite par
un couplage d’un système à deux niveaux avec un champ extérieur classique
périodique. Cette dépendance par rapport au temps sera illustrée par trois
exemples d’une grande importance pratique : la résonance magnétique nucléaire ou RMN (section 5.2), la molécule d’ammoniac (section 5.3) et l’atome
à deux niveaux (section 5.4).
5.1 Chimie quantique élémentaire
5.1.1 Molécule d’éthylène
La molécule d’éthylène C 2 H 4 servira d’introduction au sujet. L’“ossature” de
cette molécule est formée par les liaisons dites liaisons σ : des paires d’électrons σ de spin opposé sont mises en commun entre les deux atomes de carbone
ainsi qu’entre les atomes de carbone et les atomes d’hydrogène, formant un
ion (C 2 H 4 )
++
(figure 5.1). Il reste à placer deux électrons, appelés électrons
π, qui sont mobiles : schématiquement ces deux électrons peuvent sauter d’un
atome de carbone à l’autre. On dit qu’ils sont délocalisés.L ef a i td et r a i -
ter séparément électrons π et électrons σ est bien sûr une approximation,
mais cette approximation joue un grand rôle dans la théorie de la liaison chimique. Commençons par placer le premier électron π. Celui-ci peut être localisé au voisinage de l’atome de carbone 1 ; l’état quantique correspondant sera