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Physique quantique : Fondements
aimant
four
fentes collimatrices
N
S
∇ B z
z
y
x
Fig. 3.8 – Expérience de Stern-Gerlach.
F = −
∇UF z = µ z
∂B z
∂z
(3.32)
En réalité,
B ne peut pas être strictement parallèle à Oz :s i
B =( 0 , 0,B),
∂B/∂z =0est incompatible avec l’équation de Maxwell
∇·
B =0 .U n e
justification complète de (3.32) se trouve dans l’exercice 8.6.12, où l’on montre
que la force effective sur l’atome est bien donnée par (3.32). Lorsque le champ
magnétique est nul, les atomes arrivent au voisinage d’un point de l’écran et
forment une tache de dimension finie en raison de la dispersion des vitesses,
car la collimation n’est pas parfaite. L’orientation des moments magnétiques
àlasortiedufouresta priori aléatoire, et en présence du champ magnétique,
on s’attend à un élargissement de la tache : les atomes dont le moment magnétique µ est antiparallèle à Oz subissent une déviation maximale vers le haut
pour (∂B z /∂z) < 0, ceux dont µ est parallèle à Oz une déviation maximale
vers le bas, toutes les déviations intermédiaires étant possibles. Ce résultat est
contredit par l’expérience : on observe deux taches symétriques par rapport
au point d’arrivée en l’absence de champ magnétique. Tout se passe comme
si µ z ,e td o n cs z , ne pouvait prendre que deux valeurs, et deux seulement,
dont on constate
10 qu’elles correspondent à s z = ±/2 : s z est quantifié.O n
remarquera que comme le facteur gyromagnétique est négatif (γ<0), la déviation vers le haut (resp. bas) correspond à s z > 0 (resp. < 0). L’appareil de
Stern-Gerlach agit comme la lame biréfringente de la figure 3.2 : à la sortie de
l’appareil, l’électron suit une trajectoire
11 où son spin est orienté soit vers le
haut : s z =+/2, soit vers le bas : s z = −/2. L’analogie avec la polarisation
des photons nous suggère de prendre comme espace des états de spin 1/2 un
espace vectoriel à deux dimensions, ce qui s’avèrera être le bon choix. Une
base possible de cet espace est formée des deux vecteurs |+ et |−−, décrivant
les états physiques obtenus en sélectionnant les atomes déviés vers le haut ou
vers le bas par l’appareil de Stern-Gerlach, et correspondant respectivement
aux valeurs +/2 et −/2 de s z . Les états |+ et |−− sont souvent appelés
10. La connaissance de ∂Bz/∂z et de γ permet en principe de remonter à la valeur de
sz à partir de la déviation : exercice 8.6.12.
11. On peut montrer (exercice 8.6.12) que les trajectoires peuvent être traitées classiquement.
Physique quantique : Fondements
aimant
four
fentes collimatrices
N
S
∇ B z
z
y
x
Fig. 3.8 – Expérience de Stern-Gerlach.
F = −
∇UF z = µ z
∂B z
∂z
(3.32)
En réalité,
B ne peut pas être strictement parallèle à Oz :s i
B =( 0 , 0,B),
∂B/∂z =0est incompatible avec l’équation de Maxwell
∇·
B =0 .U n e
justification complète de (3.32) se trouve dans l’exercice 8.6.12, où l’on montre
que la force effective sur l’atome est bien donnée par (3.32). Lorsque le champ
magnétique est nul, les atomes arrivent au voisinage d’un point de l’écran et
forment une tache de dimension finie en raison de la dispersion des vitesses,
car la collimation n’est pas parfaite. L’orientation des moments magnétiques
àlasortiedufouresta priori aléatoire, et en présence du champ magnétique,
on s’attend à un élargissement de la tache : les atomes dont le moment magnétique µ est antiparallèle à Oz subissent une déviation maximale vers le haut
pour (∂B z /∂z) < 0, ceux dont µ est parallèle à Oz une déviation maximale
vers le bas, toutes les déviations intermédiaires étant possibles. Ce résultat est
contredit par l’expérience : on observe deux taches symétriques par rapport
au point d’arrivée en l’absence de champ magnétique. Tout se passe comme
si µ z ,e td o n cs z , ne pouvait prendre que deux valeurs, et deux seulement,
dont on constate
10 qu’elles correspondent à s z = ±/2 : s z est quantifié.O n
remarquera que comme le facteur gyromagnétique est négatif (γ<0), la déviation vers le haut (resp. bas) correspond à s z > 0 (resp. < 0). L’appareil de
Stern-Gerlach agit comme la lame biréfringente de la figure 3.2 : à la sortie de
l’appareil, l’électron suit une trajectoire
11 où son spin est orienté soit vers le
haut : s z =+/2, soit vers le bas : s z = −/2. L’analogie avec la polarisation
des photons nous suggère de prendre comme espace des états de spin 1/2 un
espace vectoriel à deux dimensions, ce qui s’avèrera être le bon choix. Une
base possible de cet espace est formée des deux vecteurs |+ et |−−, décrivant
les états physiques obtenus en sélectionnant les atomes déviés vers le haut ou
vers le bas par l’appareil de Stern-Gerlach, et correspondant respectivement
aux valeurs +/2 et −/2 de s z . Les états |+ et |−− sont souvent appelés
10. La connaissance de ∂Bz/∂z et de γ permet en principe de remonter à la valeur de
sz à partir de la déviation : exercice 8.6.12.
11. On peut montrer (exercice 8.6.12) que les trajectoires peuvent être traitées classiquement.