Contents
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7 Lagrangian and Hamiltonian Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
7.1 Basic Concepts and Formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
7.2 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
7.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
8 Waves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
8.1 Basic Concepts and Formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
8.2 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
8.2.1
Vibrating Strings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
8.2.2
Waves in Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
8.2.3
Waves in Liquids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
8.2.4
Sound Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
8.2.5
Doppler Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
8.2.6
Shock Wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
8.2.7
Reverberation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
8.2.8
Echo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
8.2.9
Beat Frequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
8.2.10 Waves in Pipes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
8.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
8.3.1
Vibrating Strings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
8.3.2
Waves in Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
8.3.3
Waves in Liquids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
8.3.4
Sound Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
8.3.5
Doppler Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
8.3.6
Shock Wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
8.3.7
Reverberation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
8.3.8
Echo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
8.3.9
Beat Frequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
8.3.10 Waves in Pipes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
9 Fluid Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
9.1 Basic Concepts and Formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
9.2 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
9.2.1
Bernoulli’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
9.2.2
Torricelli’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
9.2.3
Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
9.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
9.3.1
Bernoulli’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
9.3.2
Torricelli’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
9.3.3
Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
10 Heat and Matter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
10.1 Basic Concepts and Formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
10.2 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414