17. Champ électromagnétique quantifié
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17.3.5 Décohérence par émission de photons
L’émission spontanée de photons par un atome (ou une molécule, un noyau
atomique...) est un processus dissipatif (irréversible)
atome (i) → atome (f ) + photon ( k,, e s )
Ce processus s’étudie grâce à la méthode de Wigner-Weisskopf (annexe B),
qui montre que le vecteur d’état |Ψ(t) est donné pour des temps longs par
|Ψ(t) =
k,, es
|f, − k; k,, e s
W fi /
ω − ˜
ω 0 + iΓ/2
e
−i(E f +ω+ER)t/
(17.136)
Dans cette équation, Γ
−1 est la vie moyenne de l’état excité, E R =
2 k
2
0 /2M
l’énergie de recul, k le vecteur d’onde du photon émis, ω = ck, ω 0 = E i −
E f et e s sa polarisation ; typiquement Γ
−1 ∼ 10
−8 s. L’état final du photon
est | k,, e s : son impulsion est k.L ’ é t a ti n t e r n e|f de l’atome possède, par
conservation de l’impulsion, une impulsion − k si l’état initial |i est au repos.
Pour aller plus loin, il est utile de faire des approximations qui simplifient les
expressions sans affecter qualitativement la physique :
1. W fi est indépendant de k et e, W fi = W ;
2. k ≃ k 0 ;
3. ˜
ω 0 = ω 0 − E R ; ceci tient compte du recul de l’atome.
L’opérateur statistique de l’atome est obtenu en prenant la trace sur les variables du photon
ρ at =T r E |Ψ(t)Ψ(t)| =
k ′ ,, es
k
′ ,, e s |Ψ(t)Ψ(t)| k
′ ,, e s
(17.137)
=
k
|W|
2 /
2
(ω − ˜
ω 0 ) 2 +Γ 2 /4
|− k− k|
=
k
|γ(k)|
2 |− k− k|
(17.138)
On déduit de (17.138) les cohérences de ρ at
r |ρ at | r
′ =
k
|γ(k)|
2 e
−i k·( r− r
′ )
(17.139)
Compte tenu de l’intégrale angulaire
dΩ k e
−i k0·( r− r
′ ) =4π
sin k 0 R
k 0 R
(17.140)