Chapitre 12
Méthodes semi-classiques
Il arrive souvent en physique qu’une théorie (ou un modèle) S soit la limite d’une théorie (ou un modèle) plus complexe C, lorsqu’un paramètre sans
dimension δ tend vers zéro : lim δ→0 C = S. L’exemple emblématique d’une
telle limite est la limite non relativiste (NR), ou galiléenne, de la mécanique
relativiste (R). Le petit paramètre est alors le rapport d’une vitesse caractéristique v du problème à la vitesse de la lumière : δ = v/c,e tR=⇒ NR si
v/c → 0. L’exemple de l’énergie cinétique K illustre cette limite
K =
mc
2
1 − v 2 /c 2
− mc
2 =
1
2
mv
2
1+O
v
c
2
Cependant, ce cas simple n’est pas générique : le plus souvent la limite C =⇒S
est singulière lorsque δ → 0. Un exemple important est donné par l’hydrodynamique : si δ est l’inverse du nombre de Reynolds, la limite δ → 0 de
l’équation de Navier-Stokes est l’équation d’Euler des fluides non visqueux.
Mais cette limite, qui est encore loin d’être bien comprise, passe par la phase
du régime turbulent. Alors que l’on s’attendrait à ce que la dissipation disparaisse progressivement lorsque la viscosité s’annule, elle se concentre dans des
régions de plus en plus irrégulières et qui deviennent fractales lorsque δ → 0.
Une autre limite, qui elle aussi est loin d’être bien comprise et qui nous
intéresse particulièrement dans ce chapitre, est la limite classique de la mécanique quantique. Si S car est une action caractéristique du problème physique considéré, par exemple S car = mωa
2 pour un mouvement circulaire de
rayon a et de fréquence ω, on pourrait espérer que les effets quantiques deviennent négligeables lorsque le paramètre sans dimension
1 δ = /S car ≪ 1.
Cependant, cette limite se heurte à deux difficultés (au moins !). La première difficulté est qu’il existe une différence conceptuelle fondamentale entre
1. Ce que l’on exprime souvent de façon cavalière comme : la limite → 0 de la physique
quantique est la physique classique. Bien sûr, un tel énoncé est formellement incorrect, car
est dimensionné, ce qui ne nous empêchera pas d’utiliser cette formulation !
Méthodes semi-classiques
Il arrive souvent en physique qu’une théorie (ou un modèle) S soit la limite d’une théorie (ou un modèle) plus complexe C, lorsqu’un paramètre sans
dimension δ tend vers zéro : lim δ→0 C = S. L’exemple emblématique d’une
telle limite est la limite non relativiste (NR), ou galiléenne, de la mécanique
relativiste (R). Le petit paramètre est alors le rapport d’une vitesse caractéristique v du problème à la vitesse de la lumière : δ = v/c,e tR=⇒ NR si
v/c → 0. L’exemple de l’énergie cinétique K illustre cette limite
K =
mc
2
1 − v 2 /c 2
− mc
2 =
1
2
mv
2
1+O
v
c
2
Cependant, ce cas simple n’est pas générique : le plus souvent la limite C =⇒S
est singulière lorsque δ → 0. Un exemple important est donné par l’hydrodynamique : si δ est l’inverse du nombre de Reynolds, la limite δ → 0 de
l’équation de Navier-Stokes est l’équation d’Euler des fluides non visqueux.
Mais cette limite, qui est encore loin d’être bien comprise, passe par la phase
du régime turbulent. Alors que l’on s’attendrait à ce que la dissipation disparaisse progressivement lorsque la viscosité s’annule, elle se concentre dans des
régions de plus en plus irrégulières et qui deviennent fractales lorsque δ → 0.
Une autre limite, qui elle aussi est loin d’être bien comprise et qui nous
intéresse particulièrement dans ce chapitre, est la limite classique de la mécanique quantique. Si S car est une action caractéristique du problème physique considéré, par exemple S car = mωa
2 pour un mouvement circulaire de
rayon a et de fréquence ω, on pourrait espérer que les effets quantiques deviennent négligeables lorsque le paramètre sans dimension
1 δ = /S car ≪ 1.
Cependant, cette limite se heurte à deux difficultés (au moins !). La première difficulté est qu’il existe une différence conceptuelle fondamentale entre
1. Ce que l’on exprime souvent de façon cavalière comme : la limite → 0 de la physique
quantique est la physique classique. Bien sûr, un tel énoncé est formellement incorrect, car
est dimensionné, ce qui ne nous empêchera pas d’utiliser cette formulation !